Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
7.3. Модифицированное исчисление
Героч и др. [Geroch е. а. (1973)] предложили так называемое модифицированное исчисление, специально приспособленное для физических ситуаций, в которых в каждой точке пространства-времени естественным образом выделяется пара действительных изотропных направлений. %Этот новый вариант метода спиновых коэффициентов приводит к более простым формулам, чем стандартная техника Ньюмена — Пенроуза.
В спинорных обозначениях наиболее общее преобразование, сохраняющее два преимущественных изотропных направления и диадную нормировку OaIa = I, задается соотношениями
оЛ->-СоЛ; 1А->-С-ЧА, С — комплексное. (7.72)
Соответствующая двухпараметрическая подгруппа группы Лоренца (бусты и пространственные повороты) следующим образом изменяют комплексную изотропную тетраду (т, т, 1, к) [ср. с (3.16), (3.17)]:
к-*Лк, 1-ч4-Ч, т -> eiem; A = CC, Cle = CC-1. (7.73)
Подвергающийся преобразованию
Ti—+CPC-* г) (7.74)
скаляр г] называется спиновым или буст-весовым скаляром типа (р, q).
Компоненты тензоров Вейля и Риччи, а также спиновые коэффициенты х, р, (Т, т; Y, Ц, л относятся к следующим типам:
V.: (4,0), : (2,0), W2 : (0,0), Ч'з : (-2,0), 4% : (-4,0), Фоо : (2.2),
Фо. :(2.0), Ф02 : (2, —2), Ф10 :(0,2), Ф„ :(0,0), Ф22: (—2, —2), Ф21 : (—2,0),
Фго : (-2.2). Ф12 : (0. —2), (7.75)
х: (3,1), р: (1,1), о: (З, -1), т: (I, -1),
V : (—3, —1), ц : (-1. —^l), X : (—3, 1). я : (—1, 1).
В модифицированном исчислении замена
к—>!; I—>-к; m—*-гп (7.76)
указывается штрихом над символом, например:
х' = — V, z' = — К; a's—и.; %' гз— я;
(7.77)
р'= —а; Є'= — Y-
Операции, определяемые подстановкой (7.76) и. комплексным сопряжением, приводят к скаляру ц' типа (—р, —д) и скаляру т) типа (q, р) соответственно. Принятое соглашение о штрихах значительно уменьшает трудности, связанные с обозначениями; например уравнение Ньюмена — Пенроуза (7.41) является просто штрихованным вариантом уравнения (7.28) и т. д.
При изменениях тетрады (7.72), (7.73) спиновые коэффициенты р, р, в, е преобразуются согласно неоднородным законам, содержащим производные от С.
б* 67
Следовательно, эти спиновые коэффициенты ие появляются непосредственно в модифицированных уравнениях. Однако оии вводят новые дифференциальные операторы, действующие на спиновые и буст-весовые скаляры т) типа (р, q):
Pn)s(D — ре — ?7)7); Pffi = pt' JrqT')-Ti-,
(7.78)
di) =, (6 — pi + </р) к); д'г) = (« + pV — ql) У).
Операторы Рид отображают скаляр типа (р, q) соответственно на скаляры типов (p-f-1, ?+1) и (р4-1, q—1). Вследствие-определений (7.77), (7.78) уравнения Ньюмена — Пенроуза (7.28)—(7.45), коммутаторы (7.55)—(7.58) и тождества Биаики (7.61)—(7.71) приобретают новую явную форму. Они содержат только скаляры и дифференциальные операторы надлежащего веса и распадаются на две системы уравнений, одна из которых является штрихованным вариантом второй.
Этот формализм был использован для изящного анализа класса вакуумных метрик типа D [Held (19746)]. Первая часть процедуры интегрирования является бескоординатной. Кроме того, выбор координатной системы можно основывать на уже известном решении. В этом одно из преимуществ описанной техники, хорошо работающей в тех случаях, когда она прилагается к алгебраически специальным метрикам. Оиа также полезна при исследовании полей в алгебраически специальных фоновых метриках, особенно в метрике Керра.
Cm.: [Breuer (1975); Held (1975), (1976а)].
7.4. Изотропные геодезические конгруэнции
В § 6.1 мы рассматривали изотропные геодезические конгруэнции с касательными векторными полями к, удовлетворяющими условию
*za — ka.bmakb = 0, (7.79)
и ввели комплексные расходимость р и сдвиг а;
P s — ka. ьтать = — (в + iw), a = — ka. bmamb (7.80)
[ом. (6Л6) и (6.19)] в соответствии с определениями (7.3), (7.4) этих спиновых коэффициентов. Если а=0, то конгруэнция называется бессдвиговой.
Здесь мы рассмотрим возможность упрощения уравнений Ньюмена — Пеи-роуза в случаях, когда изотропный тетрадный вектор к является геодезическим. Изотропное векторное поле, обладающее свойствами геодезичности и бессдвиго-вости, будет темой следующего параграфа.
Выбирая к так, чтобы иа геодезических была задана аффинная параметризация, получаем
К\ЬкЬ = °Ф=>х = °, е +~ = 0. (7.81)
Тогда уравнение (7.28) эквивалентно уравнению распространения (6.33):
»Р = рг + «7+ф00. (7.82)
Если к является двойным главным изотропным направлением тензора Вейля (1F0=1F1=O), то для вакуумных полей тождество Бианки (7.65) примет простую форму
D1F2=S P1F2. (7.83)
Если изотропная тетрада {е„} переносится параллельно вдоль изотропной геодезической конгруэнции к, то ,
х=е=я=0, (7.84)
т. е. три (комплексных) спиновых коэффициента обращаются в нуль. Такой выбор тетрады очень удобен при некоторых вычислениях; левые части уравнений
(7.28)—(7.36) становятся производными по направлениям Dp............ Dv от остав-
68
шихся спиновых коэффициентов, и поэтому в координатной системе С к=(?г эти уравнения определяют /’-зависимость спиновых коэффициентов.
