Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения Максвелла в формализме Ньюмена — Пенроуза имеют вид:
?>Ф, — 9Ф„ = (я — 2а) ф„ + 2рф, — хфа; (7.46)
Офг — «ф, = — *ф„ + 2пф, + (р — 2е) ф2; (7.47)
«ф, — Дф, = ((х — 2у) Фо + 2хф, — 0ф2; (7.48)
«ф2 — Дф, = — мф0 + 2[хф, + (х — 23) Ф2, (7.49)
где для тетрадных компонент тензора электромагнитного поля [ср. с (5.10)] использованы обозначения:
ф, = Fahkamb = -J- FrabVab = фАВоЛов; (7.50)
Ф. = -J-Fab (kalb + mamb) = - FtabWab = фАВол .8; (7.51)
ф2 ^ FabInaIb = -J- FtabUab = Ф/Ц/ (7.52)
Компоненты тензора Риччи (7.16)—(7.21) для полей Эйнштейна — Максвелла задаются формулой
.фяр = х0фафр, а, р = 0, 1, 2, (7.53)
7.2. Коммутаторы и тождества Бианки
Ранее введенные коммутаторы
[еа, вб]=і)саьес; Dcаь——2ГС 1ай] (7.54)
имеют в новых обозначениях следующую явную форму:
(Д?> — DA) = (y + y) D + (є + є) Д — (х + я) д — (х + я) 6; (7.55)
(SD — Dd) = (а + р —It) D + хД — — (7+ е -1) «; (7.56)
(«Д —Д«)= -Id + (х —а_р) д + w+ (н. — Y + 7) «; (7.57)
(JJ-??) = (^-Jj.) ?>H- (7— р) Д— (^t — 3)^— (ё-— <Х) S. (7.58)
Применение коммутационных соотношений (7.55)—(7.58) к скалярным функциям (например, к пространственно-временным кооодинатам Xі) дает информацию, существенную при решении уравнений поля.
Тождества Бианки (3.77)
*аЬ\Ы;е I = 0 <7-59>
образуют оставшуюся систему уравнений, которые должны удовлетворяться в формализме Ньюмена — Пенроуза. Они являются условиями интегрируемости при определении тетрадных компонент еа' по отношению к координатному базису {д/дх<}. В этом можно убедиться следующим образом [Papapetrou (1971а, Ь) ].
Для получения компонент е1а из (2.71) должны выполняться условия интегрируемости еаі і- А| = 0, которые в точности эквивалентны уравнению (2.79).
Уравнения (2.71), (2.79) содержат переменные еа\ Гаьс, Rabcd- Рассматривая (2.71) как дифференциальные уравнения для Г0ы, мы получим с помощью теоремы 2.1 условия интегрируемости ^abi/, у, а] =0, представляющие собой не что иное, как тождества Бианки (7.59), записанные через тетрадные компоненты 5—99
и производные по направлениям:
Rab [Cd I /) = %Rabe lc^edl] Ч* [с ^dfl eb b Ic^df] еа• (7.60)
Условия интегрируемости для Rabcd, следующие из (7.60), удовлетворяются тождественно вследствие уравнений (2.79), (7.54), (7.60).
Подробная запись тождеств Бианки (7.60) [Pirani (1965), с. 350] является
чрезвычайно громоздкой, но для полноты изложения и дальнейшего использования мы их здесь приведем:
SVt -DV1 +Dф01 - «ф„ = (4а _ я) V0 - 2 (2р + е) Ф, + ЗхФ, +
+ (я — 2а — 2fj) ф00 + 2 (є + р) ф^, + 2оф1в — 2хф„ — хфог! (7.61)
ДФ0 -SV1 + ДФог -«Ф„ = (4Y — H-) 1P. -2 (2т + ?) Ф, +
+ ЗоФг + (2s —2е + р)фог + 2 (я — р) ф01 + 2офм — 2*ф,г — (7.62)
SVt — DV4 + «ф21 - Дф20 = (4s - р) Ф4 — 2 (2я + а) Ф3 + 3IVi +
+ (2y — 2y + HO Фго + 2 (t — а) ф21 + 2Хфп — 2v®le — зф22; (7.63)
AV, - SVi +Тфм - Дфг1 = (4* - х) <Р4 - 2 (2р + ї) + 3v<Ps +
+ (7— 2jT— 2а) фгг + 2 (Y + й ф21 + 21ф,г — 2vф1, — ^фг(|; (7.64)
DVi -~$Vt + Дф00 — 5ф01 + -jy DR = - IW0 + 2 (я- а) V1 + ЗрФ2 -
— 2хФ, + (2y + 2^ — (х) Фоо — 2 (і + а) Ф01 — 2тФ10 + 2?ф,, + вфог; (7.65)
ДФ, - SV, + 0ф22 - «ф21 + -jj IR = + 2 (* — х) Ф, — ЗцФ, + 2W, +
+ (7 — 2е — 2Г) ф22 + 2 (я + g) ф21 + 2яф12 — 2(хфи — Хф20; (7.66)
DVi -SVt -DQyil + бф20 - -f2 «Я = - *4*t + 2 (р -s) V, + Зя«Рг —
— 2ХФ, + (2а — 2? — я) ф2„ — 2 (р —е) Ф21 — 2яфп +2(хф„ + хф22; (7.67) AVi - SV1 - Дф01 + гфог - -уу SR =. V^0 + 2 (Y - р) V1 - ЗтФг + 2, V3 +
+ (х — 2J + 2а) фи + 2 ({і. — ї)Фо, + 2хфм; (7.68)
ОФі і — 5Фіо — вФоі + ДФов + “§“ DR = (2Y — р + 2y — H-) .Фоо +
+ (я — 2а — 2t) ф0І + (я — 2а — 2т) ф10 + 2 (р + р) фп +
+"офог + оф20 — хфц — хф21; (7.69)
•ОФіг — Sфll — 4фв2 + Дфи, + -у SR = ( — 2а + 2р + я — х) ф02 +
+ (7+ 2р — 2є) ф12 + 2 (я — х) ф„ + (2у — 2іх — і*);®,, +
¦f уФоо ““ ІФ,0 + аФгі — хф2г; (7.70)
Пфи — 9фл —вфіг + Дфц + Д# = (р + P — 2є — 2г) фгг + (2jf + 2я—х) ф„+ + (0 + 2я — т) ф21 — 2 (f*. + р.) ф,, + v®ei + v®1(1 — Хф!() — Кфоі. (7.71)
66
Уравнения Ньюмена — Пенроуза, коммутационные соотношения (7.55) — (7.58) и тождества Бианки (7.61)—(7.71) образуют замкнутую систему уравнений, из которой можно получить точные решения уравнений Эйнштейна.
Несмотря на тот факт, что приходится решать большое число уравнений, формализм Ньюмена — Пенроуза имеет большие преимущества. Все дифференциальные уравнения имеют порядок, не превышающий единицы. Для упрощения уравнений поля можно использовать калибровочные преобразования тетрады. Инвариантные свойства гравитационного поля можно выделить без использования координатного базиса. Алгебраическую структуру тензора Вейля можно уточнить с самого начала. Для нормальных форм полей, относящихся к типам
D и Л по классификации Петрова, только один из коэффициентов 4Fo...........''Р*
отличен от нуля [см. (4.22), (4.25)]. Иногда представляется возможность выбрать специальный случай, для которого уравнения поля можно решить точно.
Cm.: [Алексеев Г/ А., Хлебников В. Н. (1977); Фролов В. П. (1977)].
