Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Главные тетрады Риччи для невырожденных типов (где собственные значения, соответствующие различным элементарным делителям, различный опреде-
ляются единственным образом (pp. с § 4.2), но в других случаях допускается некоторая свобода. Перечень возможных вариантов дан в табл. 5.2.
Таблица 3.2. Группы инвариантности тензоров Риччи различных типов
Группа инвариантности Тип тензора Риччи
Отсутствует Пространственные вращения (3.16) Бусты (3.17) Бусты (3.17) и вращения (3.16) Группа вращений SO (3) SO (2,1).'трехмерная группа Лоренца Одиопараметрическая группа изотропных вращений Изотропные вращения (3.15) и вращения (3.16) Полная группа Лоренца [111,1], [11, ZZ], [11,2], [1,3] 1(11)1,11, [(11), ZZ], [(11), 2] П (1-1)] [(4)(1.1)] (ПІ). 1] 1 (11.1)] 1(1.2)], [(1, 3)] [(11.2)] [(111,1)] и, разумеется, Rab = O
В общем случае тензор Римана имеет 14 независимых алгебраических инвариантов [Geheniau (1956); Geheniau, Debever (1956); Peres (1960а); Witten (1959)]. В качестве этих инвариантов можно рассмотреть по четыре независимых действительных собственных значения тензоров Вейля и Риччи вместе с шестью параметрами, задающими преобразования Лореица между главными тетрадами Вейля и Риччи [Ehlers, Kunat (1962)].
Cm.: [Petrov (1963а); PIebanski, StacheI (1968); Thompson, Schrank (1969); Misra (1969); Collinson, Shaw (1972); Penrose (1972); Dosmorov (1973); Barnes (1974); Hall (1976a); Siklos (1976b); DCrade, Hall (1979)].
5.2. Тензор энергии-импульса
Уравнения Эйнштейна
Rab ~2~Iiab^ “f" ^Sab ~ *оТаЬ (5-4)
(«о — эйнштейновская гравитационная постоянная; Л — космологическая посто-
янная) связывают тензор Риччи (с компонентами Rab) с тензором энергии-им-пульса (с компонентами Т0ь).
Тождества Бианкн (2.81) влекут за собой важное соотношение
*jfb = (яа6 - V"). ь = °- (5-5>
В этой книге мы попытаемся привести все изьестные точные решения урав-
нений Эйнштейна в вакууме
Rab=O (5.6)
(пустые пространства). Помимо этого случая с нулевым Таь (и Л=0) мы будем рассматривать уравнения (5.4) для следующих имеющих физический смысл тензоров энергии-импульса.
1. Электромагнитное поле (максвелловское поле):
Tab = FacFbC - -J- SabFedFcd =
= -J + Fafc) = Y Р'/Пс: (5-7)
t *аь Fab + IFafr- Tab = ~2 eObcdFctl. F. =ъ 0.
52
2. Поле чистого излучения:
Tab=<b2kakb, kaka=0. (5.8)
3. Идеальная жидкость:
Tab=(ll + p)UaUb+pgab, UaUa = -1
(5.9)
(И-Рт^О. и>0).
В большинстве случаев космологическая постоянная Л полагается равной нулю; иногда будут рассматриваться решения, включающие Л. Л-Член можно отнести к тензору энергии-импульса идеальной жидкости (5.9), если вместо р подставить (р—А), а вместо ц записать {ц-{-Л); отметим, что такая подстановка может нарушить условие ц>0.
В частном случае, когда Tab=O, Л=?0 или когда Таь описывает идеальную жидкость с ц-)-р=0, будем говорить, что тензор Риччи относится к Л-членному типу. В соответствии с предыдущим замечанием такие решения часто рассматриваются как специальные случаи решений для идеальной жидкости. Пространства Эйнштейна характеризуются соотношением Rab=Agab-
В общем случае мы не рассматриваем суперпозиции этих тензоров энергии-импульса.
В силу уравнений поля (5.4) Taь имеет тот же алгебраический тип, что и Rab. Определим теперь эти типы для тензоров энергии-импульса (5.7) — (5.9).
1. Комплексный самодуальный тензор электромагнитного поля можно разложить по компонентам базиса (U, V, W) (см. § 3.4):
~2~ F*ab = Фо^аЬ + Фі^аЬ + Фг^аЬ* (5-Ю)
где Фо, Фі, Фі — комплексные функции. Инвариант тензора Е*аъ имеет вид /'*од^*аЬ=16(ФоФ2—Ф2і). Если он не равен нулю, электромагнитное поле называется неизотропным (или несингулярным). Когда инвариант равен нулю, электромагнитное поле называется изотропным (или сингулярным). В каждом случае с помощью тетрадного поворота можно получить Фо=0.
Неизотропное электромагнитное поле и соответствующий тензор энергии-импульса (5.7) можно преобразовать к виду
F*ab = 2ф ^ab = 4ф,(/Л[ат(,] —&[0/я); (5.11)
Tab =ЩгФі(ЩаЩ) + k(ak)- (5-12)
(Изотропная тетрада приспособлена к двум изотропным собственным направлениям тензора Максвелла). Выражение (5.12), записанное через компоненты ортонормированной тетрады, связанной с изотропной тетрадой соотношением
(3.12), можно переписать в канонической форме (5.3а):
ТаЬ=Ф2(ХаХь-\-уауь—ZaZb-J-UaUft), Фг=2ФгФі. (5.13)
В определенной таким образом главной тетраде (х, у, г, и) электрическое и магнитное поля (Ea и Ba) параллельны друг другу:
?0-)-iBo = F*abUb= (?-f іВ)г0=2Ф1г0. (5.14)
Из вида канонической формы (5.13) можно сделать вывод, что для гравитационных полей, создаваемых неизотропным электромагнитным полем, тензор Риччи относится к типу [(И) (1,1)] с
X1 = X8 = — Xs = — X4 = 2*0ф,ф, = -J- (?2+>);
53
двойные корни имеют одинаковые величины, но противоположные знаки. Тензор Риччи удовлетворяет соотношению
(Rba—lgba)(Rcb-hhgcb)= о (5.15)
(сопоставьте с аналогичными уравнениями для Q-матрицы в табл. 4.1).
