Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Задача на собственные значения (4.4) приводит к характеристическому уравнению det (Q — Al) = 0 и позволяет определить порядки [/я,.....m*J элементар-
ных делителей (X — X,) *,... , (А — X*f* /я, + ... + ні*= 3, принадлежащих собственным значениям X1, ... , X*.
Cm.: [Debever (1964)].
4.2. Типы по Петрову
Различные алгебраические структуры, исследованные Петровым (1966), характеризуются элементарными делителями и кратностью собственных значений (табл. 4.1). Алгебраический тип матрицы Q дает инвариантную характеристику гравитационного поля в данной точке р; эта характеристика не зависит от координатной системы и от выбора тетрады в р.
Таблица 4.1. Типы по Петрову
Тип по Петрову Порядок элементарных делителей И і mk] Матричный критерий
1 [I I 1] (Q-X1I) (Q-XsI) (Q-X1I) = O
D [(I I) 1] (q + "у i)(Q — XI) = о
II [2 1] (о+ -у I^(Q-XI) = O
N [(2 1)] Q2=O
III [3] Qs = O
0 Q=O
Примечание. Круглые скобки указывают на совпадение соответствующих собственных значений, например [()I) I) означает, что имеются простые элементарные делители и X1 = Xt чб Xt.
В табл. 4.1 также даны матричные критерии для различных типов Петрова. В данной точке р поле относится к типу Петрова, соответствующему в табл. 4.1 наиболее ограничивающему критерию, которому удовлетворяет матрица Q; например:
Тнп III <=> Q3 = О, Q2 ф 0. (4.7)
Действительная матрица Q имеет простые элементарные делители (типы по Петрову I, D или 0).
Для определения типа по Петрову, к которому относится данная метрика, можем вычислить комплексную матрицу Q в произвольном ортонормированном базисе (Ee) и использовать инвариантный критерий, указанный в табл. 4.1.
42
Таблица 4.2. Нормальные формы тензора Вейла и типы по Петрову
Nocmlmm форм* матрацы Q Собстасишг эмачсмп Xa я соог-¦етггммые кктодо гв матрацы Q Собстаеммые бивекторы *\Ь twboP* ^abcd Ковффшнпгты Va.... , V, » раысаюавос (3.58) R нормалиьс формы T»ixjp« C*aj)e(< тмп во Пецю*
ЧЧ) Xi + X* 4- А* ¦« 0 Л,:г,» (I. 0. 0) XfTTj => (0, 11 0) А,:г,= (0. 0. |) X*(i) ob ~ Wab~i"U ab) Х*(г) ab * ¦Р.-*.=-(*,-A1)/2; W1 = V1 = O; —Л./2 3 CtQbedlx 2 %)<*•* Ul I; D (для *!=**«)
/--5-+ 1 — * -U -H о ох/ » і * . А, — At— — 2 -rI a -(т- Т. •) Х,-Х:г,-(0, 0. 1) ^*(i) ab “ ^ab • ab ~ Wab V, = Ч», а Ф, а 0; V1= — V2, Ч»,= — 2 C*abcd ™ “ - X 0'abUcd + «W'crf + W'oftW'crf) II; N (гля Х=0)
°-(? ? і) Xj =S Xj Xj = 0 '.Г аз -(4-. -4-. о) X\b~Vab Ч», - Ф, = Ч», = Ч»4= 0; W1=-I С'аШ = - 21 (VeiIFeif + W70H'^) III
Гравитационные поля, относящиеся к типам по Петрову D, II, Л\ III и О, называются алгебраически специальными.
Целью применения лоренцевых поворотов или, что то же самое, элементов группы 50 (3, С) является определение простых нормальных форм для различных типов (табл. 4.2). Нормальные формы величии Q и Cabcd ассоциированы единственным образом.
За исключением отражений, которые здесь не рассматриваются, базис {Eu}, относящийся в нормальной форме (Невырожденного типа по Петрову (I, различные Xa; II, Лт^О; III), определяется единственным образом: для невырожденных типов ие существует подгруппы группы L^_, сохраняющей соответствующие нормальные формы, приведенные в табл. 4.2. Мы называем определенный единственным образом базис {Еа} главной вейлевской тетрадой.
В случае типа I по Петрову имеются пространствеино-подобные 2-плоскости («лезвия»), ассоциированные с комплексными самодуальными собственными бивекторами:
V — U = 2 (EflE1] + IEf2E,]);
I(V + U) = 2(ЕьЕг1 + IElsE1]); (4.8)
W = 2(Е[4Ез] + IEf1E2]).
Пересечения этих 2-плоскостей определяют главную тетраду.
Для двух вырожденных типов по Петрову D (I, Xt=Xs) и N (И, X=O) главная тетрада только частично определяется метрикой. Несложно найти оставшиеся подгруппы группы L^m, сохраняющие нормальные формы:
А 3
C*abcd~ 2 ^Snbcd "f" ^abcd) 2 aiWCd ДЛЯ типа D, (4.9)
С*Obcd = —Wab Vcd для типа N. (4.10)
Для метрик, относящихся к типу D, эти группы инвариантности состоят из специальных преобразований Лоренца в E3— ?«-ллоскости .и пространственных вращений в Eі—Ej-плоскости. В компонентах изотропной тетрады эти преобразования даются выражениями (3.16), (3.17). Для метрик типа N группа инвариантности с V'ab=Vab является точно 2-параметрической подгруппой (3.15).
Спинорная форма (см. § 3.6) уравнения для собственных значений (4.2) с собственным бивектором Х*аь <—> Vab имеет вид:
xVabcdtIcd лв- (4-11)
Инварианты
I . VabcdVabco = -f (X21 + X22 + X2,);
J - -j- VabcDVcdefVef =* X (Х‘‘ + Х’2 +X’j)
(4.12)
тензора Вейля полезны для описания классификации Петрова; алгебраически специальные поля (все типы по Петрову, кроме типа 1) удовлетворяют соотношению
/3=--27/2; (4.13)
в частности, для типов III, А? и О оба инварианта (4.12) исчезают: /=/=0.
Телерь приведем две теоремы, выполняющиеся для полей в вакууме (1\аь 0).
Теорема 4.1 [Brans (1975)]. Вакуумное решение типа I, для которого одно из собственных значений Xa тензора Вейля исчезает в открытой области, должно быть плоским пространством-временем.
