Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.2 [Zhakarov (1965, 1970)]. Вакуумные поля, удовлетворяющие уравнению Rabed-.e ^eiRabcd, относятся либо к типу N(<o=0), либо к типу D(w=?fc0).
44
Доказательство теоремы 4.2 немедленно следует из тождества [Zhakarov
R'' mObcd; п = KnnabFmed + 2(RmadnRncbm - RmbdnRncam) (4.14)
(Rab=O), записанного по отношению к главной тетраде (для сравнения см. нормальные формы в табл. 4.2),
Cm.: [Synge (1964); Case (1968); Roche, Dowker (1968); Thorpe (1969); Ludwig (1969); Polishcuk (1970); Narain (1970); Brans (1974)].
4.3. Главные изотропные направления
Для типов по Петрову II и III действительная и мнимая части собственного бивектора Vab=2k[amb] представляют собой 2-пространства, содержащие изотропный вектор к. Нормальные формы этих типов (см. табл. 4.2) специально приспособлены к такому привилегированному изотропному вектору, что имеет существенное значение для дальнейшего изложения.
Классификация, основанная на различных возможных решениях задачи на собственные значения (4.4), эквивалентна представлению конформного тензора Вейля через главные изотропные направления к, обладающие свойством [Penrose
(1960)J
*[<А] be Idbnkbkc = 0 <==> jpO - Cabcdkambkcm* = 0. (4.15)
Существует не более четырех изотропных векторов такого сорта; 'для их определения мы применим к произвольной изотропной тетраде (m', т',; I', к'), введенной в (3.8), преобразование, обратное изотропному вращению (3.14). Посредством этих преобразований изотропный вектор к' можно преобразовать в любой другой действительный изотропный вектор, кроме Г. Тогда коэффициенты Vo,.-., V4, определенные в (3.59), подвергаются преобразованиям (3.60), в частности
xF0 = V0—4?Ч,'і + 6?^'2—4?3V'3 + ?<V' „, (4.16)
и затем, при учете условия (4.15), мы получим алгебраическое уравнение не выше четвертого порядка для комплексного числа Е:
V'o—451?' і -|- 6Е2 V'2—4 /T3WbE4VV=O. (4.17)
Исходя из нормальных форм различных типов по Петрову, заданных в табл. 4.2 и уравнений (4.9), (4.10), можно получить корни ?, приведенные в табл. 4.3.
Для типов D и III имеет место дополнительное главное изотропное направление 1, не получающееся при помощи изотропных вращений (3.14); I удовле-творжт условию
1[еСа) be IdlHlbIc =0^4^0^1^1^. (4.18)
Тензор Вейля называется алгебраически специальным, если он допускает
хотя бы одно кратное главное изотропное направление. [Кратность изотропного направления эквивалентна кратности соответствующего корня алгебраического уравнения (4.17)].
Можно показать, что выполняются следующие уравнения [Jordan е. а.
(1961)]:
kleCal be ldknkbkc = 0 <==> V0 = О, V1 ф 0; (4.19)
Cabe UkHkbkc = O^Ve = V1 = O1 V2^ 0; (4.20)
Cabc Idkflkc *= 0 <==> V, = V1 = V8 = 0, V, ф 0; (4.21)
45
Таблица 4.3 Корти алгебраического уравнения (4.17) и их кратности
Тип Корин E Кратность
I Vlt + 2Л| ± ^X1 + 2Х, VX1-X1 (I, I, 1. 1)
D 0, оо (2, 2) ?
II о, ±*|/"4>- (2, 1, 1)
III 0, оо (3, 1)
N 0 (4) 4
Примечание. Соответствующие кратности главных изотропных направлений символически изображены в правой колонке этой таблицы.
46
CabCdkc = Os=^=V1 = V1 = V1 = O1 V4 # О (4.22)
для кратных изотропных направлений к кратности 1, 2, 3 и 4 соответственно.
Критерий (4.20) можно записать в эквивалентной формулировке
kakcC*Vbcd=Xkbkd, ХфО. (4.23)
Любые два из следующих условий для изотропного направления к влекут за собой
третье [Hall (1973)]:
Cabcldkj]kbkc = 0; Rabc Idkjkc = 0; Ra = 0. (4.24)
Последнее условие в (4.24) означает, что к является собственным направлением тензора Риччи (см. § 5.1).
Тип D характеризуется существованием двух двойных главных изотропных направлений к и 1:
Cabc ldkrfbkc = 0 <^=> V0 = V1 = 0, V, ф 0;
(4.25)
Cabc Idhlibic = 0 = V. = 0- Ф 0.
Тип 0 (нулевой тензор Вейля) не выделяет каких-либо изотропных направлений.
На диаграмме Пенроуза (рис. 4.1) стрелки указывают направление возрастания кратности главных изотропных направлений; каждая стрелка показывает одно дополнительное вырождение.
Классификацию в терминах главных изотропных направлений можно сформулировать на спинорном у I
языке [Penrose (I960)]. Полностью симметричный уг Jl
спинор УABCd можно записать в виде симметріизо- п— ш.п
ванного произведения одноиндексных спиноров, оп- *¦
ределенных единственным образом С ТОЧНОСТЬЮ ДО s' ДО I
множителей. Доказательство следует из применения Ш j А'______________________О
фундаментальной теоремы алгебры: любой полином
можно разложить на сомножители, каждый из ко- _ ^ j Диаграмма
торых является линейной формой ' Пенроуза
= (^Л) (Єв?В) (Yc^c) Q0*0)- <4'26>
Таким образом, типы по Петрову определяются критерием:
1:41ABCD ~ °{А Mc 1D) і D: 1pABCD °(А°В 1C 1D)'
(4.27)
I[: 1pHBCfl ^ 0(A0B^C 'Dy 111: ^ ABCD 0(A0B0C iDy
N'- 5PABCD 0A0B0C0D
(ft“ ^7В).
Два подхода к классификации тензора Вейля — с помощью задачи на собственные значения для матрицы Q и на основе главных изотропных направлений — полностью эквивалентны. Эта классификация позволяет инвариантным образом разделить гравитационные поля на различные типы — типы по Петрову. (Мы используем это название, хотя аналогичные результаты были получены и другими авторами: [Debever (1959); Geheniau (1957); Pirani (1957); Penrose
