Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
3.5. Разбиение тензора кривизны
Тензор кривизны с компонентами (2.79) по отношению к базису {е„} можно единственным образом разбить на части, являющиеся неприводимыми пред-
ставленнями полной группы Лоренца
Rabcd=Cabcd~{-Eabcd-\~Gabcd, (3.44)
34
где использованы следующие сокращения:
EabCd =* 2 (SaffSbd + gbd^ac —Sad^be — gbe^ad)> (3.45)
R R
Gabcd= j2 (gacSbd Sadgbc)= j2 Sabedi (3.46)
^ab ^ Rab 4 Rgab, R^Raa (3.47)
[Л и Sab обозначают соответственно след и бесследовую часть тензора Риччи, определенного в (2.83)].
Разбиение (3.44) определяет конформный тензор Вейля C0 ьи, обладающий свойствами симметрии:
^efccd- ^(tacd==~Cabdc=Cedob, ^a[bcd]~^‘ (3.48)
Другие члены разбиения (3.44) имеют ту же симметрию. Кроме того, имеют место соотношения:
Ci^bad — 0,‘ bad = Sfctft bed = 4 SbdR• (3.49)
Тензор Вейля полностью бесследовый, так как при свертке по любой паре индексов он обращается в нуль. Поэтому он имеет 10 независимых компонент. Пространство-время с равным нулю тензором Вейля называется конформноплоским.
Приведем эквивалентную форму разбиения (3.44)—(3.47):
FbCd = CabCd—4 *lA + 2Wl ¦ (3-50)
Так как тензоры СаЬсл, Еаьы и Gabcd имеют по две пары бивекторных индексов, можно ввести понятия дуальности слева и справа, т. е.
Cabcd = 2 cObejCe^cd ' CaI1Cd s 2 eCdejCe^(3.51)
Оказывается, что эти дуальные тензоры удовлетворяют соотношениям
Cabcd — Cabcd' ^abed— Eabcd ^abed= ^abcd' (3.52)
Для алгебраической классификации (см. гл. 4) удобно ввести комплексные тензоры:
Cabcd 33 Cabcd + Cabcd = — ICabcd; (3.53)
Eabed “ Eabcd + *Eabcd, Eabcd = + іEabcd, (3.54)
^abcd =3 ^abed + Юabcd' ^abcd= ^abed" (3.55)
«Единичный тензор», определенный выражением
Iabed — igabed + Izabed) = ~2~ ^ab^Cd + ^edUab) "4" WalWcd< (3.56)
|так, что IabedZacd = Zrt и 0Ibed = 1Г1 abed' ср. с [3.39)j самодуален по отношению к обеим парам бивекторных индексов. Следовательно, 1аьы допускает двойное разложение вида (3.56) по бивекторам базиса {Z®}. Разбиения
Cabcd ~ Ca^ab^cd' Eabcd = eap^nft^rd (3.57)
имеют место для тензоров, определенных формулами (3.53), (3.54).
3* 35
В силу бесследовости тензора С*аьа существует подробное разложение: ~2~ С*abed — ab^cd + (UabWcd + WabUclI) + ab^Cd +
+ Ф» (VabUcd + UabVcd + WabWcd) -I- «р, (VabWed + WabVcd), (3.58)
пять комплексных коэффициентов Yq, ..., tIfA которого определяются тождествами:
V» ^ Cabedk?mbkcm<*; ?,== CabedPkbIcJO*;
Ф^СашМЧгїт*-, Vt^Cabcdlamblcnifi; (3.59)
Vt S -J- Cabedkalb(kcld-mcm?t).
В этих определениях вместо С„ьа можно подставить 4iC*abcd- Различные члены в (3.58) допускают следующую физическую интерпретацию [Szekeres (1966Ь)] г V4—поперечная волна в k-направлении; V3 — продольная волновая компонента; — «кулоновская» компонента; Vo и Vi — поперечная и продольная волны в направлении I.
С помощью уравнений (3.41) найдем законы преобразований величин Vo, ... ..., V4 при изотропных вращениях (3.14), (3.16).
I фиксировано
V'4=V4;
VV=VH-SV4;
V'2=VH-2?V3+?*V4; (3.60)
V',=V,+ 3?Ч'2+Sf2V3+?3V4; V,o=Vo-)-4?Vi-b6?2Vis+4?8V34-^V4.
к фиксировано
V'„=V0;
Vx1=Vi-^o:
V'2=VH-2?V,-|-S2Vo; (3.61)
V'3=Vs+35V2+3B2Vi-|-fi3Vo;
V/4=V4+4SV3+652VH-4B3V14-5<Vo.
Обобщая уравнения (3.36), (3.37), можно выразить через комплексный тензор С* abed
-Qaess C*abedubu* га Eac + SBac; UcOc-----1 (3.62)
по формуле
— ~ С*abed = 4и|aQb] Idac) + Ba [fid] b ~~ Sb IAi] a + ієаЬеІаЄи[с^d\ +
+ UedelUeUlaQf b]. (3.63)
В этом выражении Eaс и Вое обозначают «электрическую» и «магнитную» части тензора Вейля соответственно. Компоненты Qab удовлетворяют соотношениям:
Q«a=0; Qab=Qba-, QabUb=0 (3.64)
н могут рассматриваться как симметричная комплексная (З X 3)-матрица Q с равным нулю следом. Матрица Q определяет 10 действительных чисел, соответствующих 10 независимым компонентам тензора Вейля.
Cm.: [Lanczos (1962); Misra, Singh (1967); Cahen е. а. (1967)].
36
3.6. Спиноры
Спинорный формализм обеспечивает чрезвычайно компактную и элегантную основу при многочисленных расчетах в общей теории относительности, в частности при изложении алгебраической классификации тензора Вейля (см. гл. 4) и применении техники Ньюмена — Пенроуза (см. гл. 7).
Можно показать, что (связная) группа линейных преобразований SL (2, С) в двух комплексных измерениях с детерминантом модуля 1 имеет (2—1)-гомоморфизм на группе L^. Пространство, на котором действует SL (2, С), называется спинорным пространством, а его элементы (с одним индексом)—спиноры с компонентами ФА. Спинорные индексы типа А, очевидно, могут принимать только значения 1 и 2. Каждое собственное преобразование Лоренца определяет элемент группы SL (2, С) вплоть до знака. Так как определяющим свойством (среди всех линейных преобразований в четырехмерном пространстве) является то, что L\ является (связной) группой, сохраняющей метрику Минков-
ского, a SL (2, С) определяется (среди всех линейных преобразований в двумерном комплексном пространстве) как (связная) группа, сохраняющая определители, следует ожидать, что формирующая детерминант 2-форма, имеющая в спиновом пространстве компоненты
