Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эту формулу несложно получить из аксиом, определяющих внешние произведения 1-форм, и из разложения, аналогичного (2.19). Пусть аир имеют компоненты^ И hi . ь соответственно. Тогда внешнее произведение (2.23)
имеет компоненты
(aIp) л$(д))а, ...арЬ, ...bq ~ a\at ...OqHl... bqy (2.24)
2.6. Тензоры
Тензор T типа (г, s) или ранга (r+s) в точке р является элементом произведения пространств
Tp (г і s) — Tp ® . ® Tp (§ 7 *р® ® Т*р
г сомножителей s сомножителей
и отображает любое упорядоченное множество г 1-форм и s векторов
(a'... or; ...... V.) (2.25)
в р на действительное число. В частности, тензор Uj® ... ®иг®т'®.. .®т' отображает упорядоченную систему (2.25) на произведение сверток <01и!>... ...<вгиг><»^|>...<т%>. Это отображение линейно по каждому аргументу. С помощью базиса {е’„}, {ш6} произвольный тензор T типа (г, s) можно представить в внде суммы тензорных произведений
т = Crfe* ® • • • ® % ® ® • • • ® b^- (2-26)
где все индексы изменяются от 1 до п. Коэффициенты T^ с ковариантными индексами Ь\... Ь, и контравариантными индексами a>... ar называются ком-
20
понентами T по отношению к базису {е0}, {со6}. Для произвольного тензора сомножители в отдельных членах с тензорными произведениями в (2.26) могут и не быть перестановочными.
Внешнее произведение Л получается с помощью антисимметризации тензорных произведений ®. Таким образом, антисимметричные тензоры типа (0, р) (антисимметричные ковариантные тензоры) являются в точности р-формами, введенными в предыдущем разделе.
Несингулярные линейные преобразования базиса
еа, = Laa, еа; соа' = La'a <оа; La'b L'a, = 8' (2.27)
изменяют компоненты тензора T в соответствии с законом преобразования
Ta'1 ••• г _ га'і ra'r Ibl і bs уаі — аг /о 28^
Ь’, ...b's — L a, L ar ft', b’s1bl...bs- V-zaI
Для преобразований, связывающих два координатных базиса {д/дх‘}, {д/дх1'} ^/іХ/г)-матрицы, La'а и Laa, принимают специальные формы:
La'a ->¦ дх1'/дх{; Laa, -*¦ дх1/дх1' .
От базиса, использованного в (2.26), не зависят следующие алгебраические ¦операции: сложение тензоров одинакового типа, умножение тензоров на действительное число, тензорное произведение двух тензоров, свертка любой пары один раз ковариантного и один раз контравариантного индексов, образование (анти)симметричной части тензора.
Отображения тензоров. Отображение Ф (рис. 2.2), переводящее точку реЛ в Ф (р)єИ^, естественным образом индуцирует отображение Ф* действительных функций f, определенных в Jf, на функции в JC.
Ф*/(рЫ(Ф(р)). (2.29)
Кроме того, индуцированные отображения векторов и 1-форм
Ф*Є(р) ->Ф*яЄ(2.30)
определяются постулатами:
1) отображение вектора удовлетворяет условию
Ф*»Ш|*(„ = т(Ф,П1р. (2-31а)
где Ф.у— касательный вектор к образу кривой Ф(у(0) в Ф (р), если v — касательный вектор к y{t) в р',
2) отображение (2.30) сохраняет свертки
<Ф*а, v> I р=<ст, Ф,у> |ф(р). (2.316)
Для любых и и V из (2.31а) непосредственно следует соотношение
[Ф.и, ф„у]=ф.[и, V]. (2.32)
Обозначим локальные координаты соответствующих окрестностей точек р и
ф(р) как (х1.....хт) и (у1....уп) соответственно. Тогда отображение 1-формы
о задается простой подстановкой координат
ди*
ф*: Cl = о{у) dy‘ —* ф*з = a / ((/ (х)) — dxk =Sk(X) dxk. (2.33)
(і= I,..., п\ k=\,..., m)
Эти отображения можно непосредственно распространить на тензоры произвольного типа (г, s) при условии существования обратного отображения Ф-1, или, что то же, Ф — одно-однозначное отображение. При этом уравнение (2.316)
21
приводится к виду
<Ф*а, Ф.-'у>|р=«г, У>|Ф(Р).
(2.34)
Отметим, что Ф* отображает тензоры на Hf5 в тензоры на Ж исходя из отображения Ф : Ж—Таким образом, уравнение (2.34) определяет ноиые тензоры Ф <5 и т. д. В то_ же время при преобразованиях (2.5) базиса заданного многообразия Ж любой тензор остается тем же самым объектом; изменяются только его компоненты. Тензоры определяются инвариантным образом.
До сих пор мы рассматривали только тензоры, определенные в заданной точке р. Однако все полученные результаты можно непосредственно обобщить на
тензорные поля. В качестве специального случая в конце § 2.3 и 2.4 были определены поля 1-форм и векторные поля на Ж. В нескольких следующих разделах будут введены различные производные от векторных полей. Для краткости будем в дальнейшем называть тензорные поля просто тензорами.
В § 2.4 с помощью уравнения (2.14) был определен дифференциал df функции /. Оператор d генерирует 1-форму df из 0-формы / в соответствии со следующим определением:
Обобщим дифференцирование такого рода так, чтобы оно было применимо к любой р-форме.
Внешняя производная d отображает р-форму в (р-f-l)-форму и полностью определяется аксиомами:
В силу аксиомы (2.33а) достаточно проверить существование и едниствен-
тельства этих требований (см. также [Flanders (1963)]) мы будем использовать координатный оазис. Вспоминая, что координаты являются функциями на Ж, сначала с помощью индукции можно показать, что
