Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
V-V/=gabVaWb. (3.4)
Векторы VHW называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Будем говорить, что не равный нулю вектор v пространственноподобен, временно-подобен или изотропен, если произведение V¦ v=gabvavb положительно, отрицательно или равно нулю соответственно. В координатном ба-
зисе линейный элемент ds2 имеет вид:
ds2=gijdx'dxi. (3.5)
Контравариантные компоненты gab определяются матрицей, обратной gab-Поднятие и опускание индексов тензорных компонент выполняется обычным образом:
Va=gabVb\ Va=gabVb. (3.6)
В этом смысле вектор vaea и 1-форма оао>“ описывают один н тот же геометрический объект.
* Cm. также: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ. M.,. Наука, 1967; Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительности. М.,
Наука, 1966; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная гео-
метрия. М., Наука, 1979.—Примеч. ред. перевода.
29
Ортонормированный базис {Ео}, ассоциированный с метрикой (3.1) пространства-времени, состоит из трех пространственно-подобных векторов Ea и одного временно-подобного вектора E*=t так, что
(E0) = {Ea, t) = {x, у, Z1 t}<-=>EaE? = ee?; M=-I; Ee-t=0, (3.7) gab=XaXb-\-yayb+ZaZb—t„tb.
В литературе и во многих разделах этой книги символ t заменяется символом и. Однако в будущем часто будет нужио рассматривать жидкость с 4-скоростью и, выраженной в терминах тетрады с t^=u. Это служит оправданием введению t как общего символа для Е4.
Важную роль играют комплексные изотропные тетрады. Комплексная изотропная тетрада состоит из двух действительных изотропных векторов k, I и двух комплексно-сопряженных изотропных_векторов ш, ш:
{е0}=(ш, m, 1, к);
'о і о о\
10 0 0
gai = 2/Я(а — 2k{alb) = \ Q0 0 —1 1
о -I Oy
(gab — компоненты g по отношению к комплексной изотропной тетраде), т. е. все скалярные произведения тетрадных векторов, кроме
M0=—I; m°me=l, (3.9)
равны нулю. В координатном базисе комплексная изотропная тетрада {ea} и дуальные ей 1-формы {юа} имеют вид:
= е’ = /г-^г: е> = *г-?г; (ЗЛ0)
о1 ssmidx1; юг = /и,Лс‘; а>5 = —Iiidxi; о4 = —Iidxi.
Явные выражения для производной f|a функции f вдоль комплексной изотропной тетрады (3.8) запишутся в виде
/н = f. 1*'; f,2 /із =/.і11' Ы =/.iki• (3-11)
Ортонормированный базнс (3.7) и комплексная изотропная тетрада (3.8) связаны между собой формулами:
Kan = E1-IEa; KaJT=E1 + IE2; Kfl= E4-E5; Klk= E4+E3. (3.12)
В плоском пространстве-времени из (3.12) следуют соотношения:
Yj (х + S = 2 ц= у2 ^ ~~TT ^
(3.13)
между изотропными координатами К, К, и, о (приспособленными к базисным векторам m =«^, m = д—, 1 = ди, It = (J0) и координатами Минковского X, у, г, t
(приспособленными к базисным векторам E1 = дх. Е, = ду, Et = dz, E4= д/). Мы использовали обозначения =з д/д^ и т. д.
Преобразования Лоренца приводят к следующим изменениях базиса (3.8): изотропным вращениям (1 фиксировано)
1'=1, лГ=т-|-Е1, к'=К+?"Ч-ЯпЧ-??|> Е —комплексное; (3.14)
30
изотропным вращениям (Tc фиксировано)
к'=к, fn'=m-|-Bk, K=l-)-Bin-fStn-|-B5k, В — комплексное; (3.15)
пространственным вращениям в ш—т-плоскости
га'= e,em, в — действительно; (3.16)
специальным преобразованиям Лоренца (бусты) в к—1-плоскости
k'=/lk; V=A-1I, А >0. (3.17)
Преобразования (3.14)—>(3.17) содержат шесть действительных параметров. Преобразования, сохраняющие к-направление, имеют вид:
к' = Ak, m'=e10 (m + Bk); V = А~х (I + Bm + Bm -f BBk). (3.18)
Дополнительное условие на метрику
Vg = о <=» gab. с = ° = gab I f — 2Y(ab) с\ (3.19)
^abc ^ Sad^be
позволяет однозначно определить симметричные коэффициенты связности (2.65). Комбинируя условие на метрику (3.19) и условие симметрии (2.68), получим общую формулу
^cab ~2~ (бса I Ь “1" Bcb la Sab | с ^bca "4" Dacb Dcab); (3.20)
Dabc = BadD^bc
выражающую коэффициенты связности через метрический тензор и коммутационные коэффициенты. Упомянем два случая, представляющих особый интерес: координатный базис (голономный репер)
Dijh= 0:Гг [/*] = 0, Гг/б= {^} (символы Кристоффеля);
постоянная метрика (жесткий репер)
Sab / с = Г(аг,)с = 0.
В голономном репере коэффициенты связности ГоЬс симметричны по паре индексов (Ьс), в то время как в жестком репере они антисимметричны по паре
индексов (ab).
3.3. Вычисление кривизны по метрике
Компоненты тензора кривизны задаются уравнением (2.79). В координатном базисе мы можем просто подставить символы Кристоффеля в это выражение. Однако во многих приложениях более компактным и эффективным является метод Картана. Он непосредственно дает тетрадные компоненты. Алгоритм можно представить в виде двух этапов:
1. Вычисление 1-форм связности (2.73) Гаь=Га»,сшс из первого уравнения Картана (2.74) и условий на метрику (3.19)
daa= -JvbA <йь; dgab = Tab + Tba, (3.21)
откуда Габ определяется единственным образом. В жестком репере (dgai=0) остается не более шести независимых 1-форм связности.
2. Вычисление 2-форм кривизны (2.84) нз второго уравнения Картана (2.85)
