Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
В силу указанного представления коэффициентов связности компоненты ип;с ковариантной производной вектора и в направлении базисного вектора ес определены полностью:
VcU =- Vc (“%) = (ua,f + VadcUd) ea = u“. cea. (2.69а)
Компоненты ковариантной производной vT тензора (2.26) имеют вид:
Tl:: Vsie = <::: 2? i , •+ К;:.Х+¦¦¦+::: -
- Kc С.: Vs--- rv tI ai> (2-696)
где использовано обозначение f| а = ea (f) = f_г е‘а. Отметим, что формула (2.696) справедлива для общего базиса {е„}.
Используя аксиому симметрии (2.68), мы можем заменить частные производные в выражениях (2.39) н (2.61) для компонент внешней производной и производной Ли на ковариантные производные так, что запятые можно заменить точками с запятой.
Базисы {е0} и {о>а} являются линейными комбинациями координатных базисов:
еа=е'ад/дхf; Wa=CDa1Ctef. (2.70)
Коэффициенты связности (2.65) можно переписать в виде
ГСс6 = COI = - (2.71)
Для внешней производной базисной 1-формы получим:
dvfi = Wali jdxi A dx‘ = (Oa1.. Лxі A Clxi = Tabcv>b A COc. (2.72)
Вводя 1-формы связности
Г“ь=Г%с<ос, (2.73)
можем, следуя Картану, записать уравнение (2.72) в виде
daa=—FabAetb (2.74)
(первое уравнение Картана). Из этой формулы, для заданного базиса, можно вычислить антисимметричную часть Гс[пй] коэффициентов связности.
Касательный вектор v к геодезической кривой удовлетворяет выражению yvv=fv, или в компонентах
vbva-b—fva. (2.75)
При подходящем выборе параметра на геодезической кривой можно добиться обращения функции f в нуль. Такой параметр ц называется аффинным, и уравнение геодезической записывается в форме
DViIdlL==VbVUk = 0. (2.76)
27
2.10. Тензор кривизны
Тензор кривизны (тензор Римана) —это тензор типа (1,3)
R=/?a 6с<іЄа ® ® Oc ® Od >
отображающий упорядоченное множество (a, w, u, v), состоящее из I-формы а и трех векторов w, u, v, на действительное число
cauFi/wbRabi Сш d = <<т, (VuVv _ VyVu — ^ у]) w> =
= «О [(•“; CVc), - (¦“. X); d Vd - ®°., (UrfOc. а - (2.77)
— vduP. d)] = S0 (wa. ы — wa. dc) XicUd.
Так как компоненты оа, Vе, ил можно выбирать произвольно, мы приходим к тождеству Риччи:
аPxcd-^dc=WbRabdc. (2.78)
Общее правило (2.69) записи компонент коварнантной производной тензора приводит к формуле
Rabcd = Г“м і f - Tabc, d + TebdTaec - T^bcTaed - D^cdTabe. (2.79)
В координатном базисе последний член исчезает. Компоненты (2.79) тензора кривизны удовлетворяют соотношениям симметрии
RabOd = -Wbdc-, RaIbcdl = °- (2-80)
Г abc-----------(2, 73)---------- R abcd
/г,73) (2jBt) Рис. 2.3. Как получить кривизну из
j связности
Ta6 ------------(2,85)----------- в%
Коварнантные производные тензора кривизны подчиняются тождествам Бианки
= (2.81)
Свертка (2.81) по индексам а и е приводит к тождествам
RabCdla + ™Ь [с; d) =0. (2-82)
где компоненты Rbi тензора Риччи определяются из соотношения
Rbd = Rabad. (2.83)
Компактный и эффективный метод расчета компонент (2.79) по отношению
к общему базису обеспечивается процедурой Картана. Из определения 2-формы
кривизны
Oab=I-^- RabCdtoc Д Wtf (2- 84)
следует, что уравнение (2.79) полностью эквивалентно второму уравнению Картаиа
CtTabЧ- Tac Л Tcb = W1b, (2.85)
которое дает алгоритм вычисления кривизны из коэффициентов связности. На рис. 2.3 приведена взаимосвязь между различными величинами.
28
Глава З
Некоторые вопросы римановой геометрии
3.1. Введение
В гл. 2 мы рассматривали дифференциальную геометрию без метрики. Для определения ковариантных производных на дифференцируемом многообразии JC была введена дополнительная структура — связность. Дополняя эту структуру метрикой gab и постулируя ?об;с=0, мы придем к римановой геометрии. Метрику введем в следующем параграфе.
Общая теория относительности основывается на концепции пространства-времени, представляющего собой четырехмерное дифференцируемое (класса С°°, хаусдорфово) многообразие JC, оснащенное лоренцевой метрикой gab, которую в любой точке JC можно преобразовать к виду
gab=T]a!,=diag (I, 1, 1,-1), (3.1)
т. е. пространство-время является нормально-гиперболическим римановым пространством Vi. При дальнейшем изложении предполагается знание основных положений римановой геометрии, приведенных в большинстве учебников по общей теории относительности. Мы дадим только некоторые понятия и результаты, которые будут использованы в оставшейся части этой книги. Детальное изложение читатель может найти в обычных монографиях по римановой геометрии: [Eisenhart (1949); Schouten (1954)]*.
3.2. Метрический тензор и изотропные тетрады
Введем в качестве новой структуры симметричный тензор типа (0, 2), называемый метрическим тензором g, который оснащает каждое векторное пространство Tp скалярным произведением (внутренним произведением)
ЄаЄь=|»аЬ. (3.2)
Тензор g, иногда называемый линейным элементом ds2, представим в форме
g=ds2=gab0iae>b. (3.3)
Тогда скалярное произведение двух векторов v и w определяется по формуле
