Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно убедиться, что все аксномы (2.36) теперь удовлетворены. В качестве примера продемонстрируем выполнение аксиомы (2.36в) для форм
Рис. 2.2. Отображение гладкой кривой у V) на ®(y(0)
Mfxl..., х")
2.7. Внешняя производная
d : f—>-df=f,idxK
(2.35)
1. d (а + Р) = da + d$;
2. d (а(Р) A ?(<,)) = da(p) Д + ( — 1)ра<р) Д с/р^С
3. df = ff idx‘;
4. d (df) = 0.
(2.36a)
(2.366)
(2.36в)
(2.36г)
иость внешней производной для /7-формы а = fJx“ /\ ... Adx P. Для доказа-
d (dxi% Л ... Д dx.lP) = d [d (xf* dxl*... dxp)] = 0.
(2.37)
Затем на основании аксиомы (2.36в) имеем
d (fdx‘l Д ... Д dxP) = df A dx!> Д ...“ДгіхЧ
(2.38)
+ (- \)Pifdx1' л ... A dxP) A (dh /Д dxh A ••• AdJ<t) =
= da.(p) AP<g) + ( — 1)P«(P) Adfi(9t,
где использовано уравнение (2.23). Из общей р-формы (2.20) с помощью внешнего дифференцирования можно получить (/O-f-l)-форму
rf«(p> = ... ip, / Л dx1' A---A dxlP . (2.39)
Компоненты формы rfa(p) (полностью антисимметричные) содержат только частные производные от ал. ..ip. Отметим точную эквивалентность атаиомы (2.36г) свойству смешанной второй частной производной:
d (Jf) = d (f, і dx0 = f, г, у Лс/ A = 0. (2.40)
Из выражения (2.39) следует
d(da)—0 (2.41)
для любой р-формы а.
Следующие теоремы, за доказательством которых мы отсылаем читателя к указанной ранее литературе, выполняются только локально (т. е. в окрестности точки р).
Теорема 2.1 (теорема Пуанкаре). Если а — р-форма (pS* 1) и da=0,
то существует (р—1) -форма Р, такая, что a=dp. Или в компонентной записи
tV1-V/! =0<=*а‘-.-л = (2-42)
Теорема 2.2 (теорема Фробениуса). Пусть а1,..., ат—г линейно независимых
1-форм в точке p^.JC. Предположим, что существуют 1-формы хЛв(А, B=I,..., ...,г), удовлетворяющие условию daA=xA в/\ов- Тогда в окрестности р найдутся функции }Ав и hA, такие, что oA—fABdhB. (Доказательство см. в [Flanders (1963)].)
Другие формулировки этой теоремы: вводя г-форму Sso1A-.. А®г> можно заменить условие daA = А ов одним из двух следующих условий:
1) doA AS = O1
2) существует 1-форма X,, такая, что dS=XA^. В случае простой 1-й формы
о получим
a A da = О <==Ф а — fdh (2.43)
или в компонентах
«[а, Ь ас] = 0<==>аа = №. а- (2.44)
Поверхности A=Const называются интегральными поверхностями уравнения а= =0, a /-1 является интегрирующим множителем.
Теорема Фробениуса имеет важное значение при построении точных решений, так как позволяет ввести локальные координаты / и h, приспособленные к заданным нормальным 1-формам (см. § 23.1.1).
Ранг q 2-формы а определяется соотношениями
«Л-.-Ла#°і aA - Aa = 0. 2Ц<:П. (2.45)
q сомножитеїей (?+1) сомножителей
Используя это определение, можно обобщить положение (2.43) в следующем виде:
Теорема 2.3 (теорема Дарбу). Пусть о -1-форма и пусть 2-форма da имеет ранг q. Тогда можно найти локальные координаты я1,..., хч, ?, • - •> 1п_?.
23
такие, что
.ЛЛЛ-ЛЛІ + «ад
,-T==^L I*»:»-*1**1 + .-. + ***' + **'*'.
(Доказательство см. в работе [Sternberg (1964)].)
Эта теорема дает все возможные нормальные формы для 1-формы а. Использование теоремы Дарбу в 4-мерном многообразии позволяет получить следующую классификацию 1-форм о в покомпонентной записи:
?=0-’s?a.&] = 0: ®a=S.a
4= і] ^ 0, sI(Ji ftac>d] = 0 3[a,i®cJ = 0: O0=X^a
(2.47>
sIa. Ь) Ф ®lo. b *c. d] = o aIa. b ®cj Ф 0: aa = *S. a + 1J, a
4 = 2-40. b°e,dl?0'- °a= Xk. а + УУ.а-
Буквами x, у, g, г) обозначены независимые действительные функции. Случай q=\ является приложением теоремы Фробениуса к простой 1-форме о.
Теперь приведем теоремы, относящиеся к 2-формам.
Теорема 2.4. Для любой 2-формы а ранга q существует базис {©“}, такой,
что
a = (©> Л ю2) + (ю3 Л до4) + ... + (ю^-1 Л иг«). (2.48>
При da= 0 можно ввести локальные координаты х1...... .х«, I1... %п~ч, удов-
летворяющие соотношению
U = Clx1 /\d%x + ...+dxl Ad^. (2.49)
(Доказательство см. в работе [Sternberg (1961)].)
В заключение этой серии теорем рассмотрим по аналогии с (2.30) отображение Ф : Jl—<-Л° между двумя многообразиями и докажем методом индукции
следующую теорему:
Теорема 2.5. Для внешней производной da р-формы а имеет место равенство
d(<t>*a)=4>*(da). (2.50)
Доказательство. Обозначим координаты в соответствующих окрестностях peJf и Ф(р)єЛ° как (*',..., хт). и (ууп). Выражение (2.50), очевидно, выполняется для 0-формы /:
_______ д(Ф*1) ,ь df(y(x)) ду‘
d (фf) = Hxr I?—*=* W)- <2-51>
Предположим, что оно справедливо для (р—1)-формы р и выберем а, не уменьшая общности, в виде a=/dp. Тогда
d (ф*а) = d Цф*П d (ф*р)] = d (ф*П Д d (ф*р) = ф* (da). (2.52)
Мы не будем рассматривать интегрирование на многообразиях, только отметим, что определение оператора внешнего дифференцирования d позволяет записать теорему Стокса в следующей простой форме:
J a= J ilaI (2.53>
дЛ Л
где a—произвольная (л—1)-форма, а д обозначает ориентированную границу многообразия Ж. (Многообразия с границей определяются картами, отображающими их окрестности U на половину пространства Hn, описываемую неравенством JcuSK), что предпочтительнее отображения на ?". Тогда границей является множество точек, отображенных на хп=0.)
