Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
в“„ = dT% + Гас Д = 4" Rabcd*c A • (3-22)
Эти вычисления дают компоненты Наьы по отношению к общему базису {е„}.
31
Для комплексной изотропной тетрады {e0}=(tn, m, I, к) второе уравнение Картана (3.22) сводится к трем комплексным уравнениям:
41 + Г4,"Д (Гг, + Г4!) = -g- Rticd<>>c A (3.23а)
dT,t — Г,2 А (Г„ + Tt,) = -?- Rt2CdiHc A Od; (3.236)
d (Г,, + Г43) + 2Г3, А Г41 = ~2~ (RilCd + Rt3cd) ®с A ю<<> (3.23в)
где_ индексы относятся к базисным векторам Єі=т, Є2=т, е3=1 и е4=к; Г4( =
=Г42=Г0ьй0ть, Г21=Г12=Габтать и т. д. (перестановка индексов 1 и 2 означает комплексное сопряжение).
В качестве примера применения метода, основанного на уравнениях (3.21), <3.22), рассмотрим метрику ?аь=т|<><> и Дуальный базис
1 / Зх' V /2 / 2 V
r*'i = “’ = (—) ^ + (-з^г)
1 dX1', as (х')112/х*, X1 >0.
(3.24)
Соответствующий линейный элемент запишется [см. (33.1)] в виде
ds2 = [(dx1)2 + (dx2)2] + ЫхЧх* + -у- х* (dx3)2. (3.25)
Отсюда мы получим следующие явные выражения для внешних производных базисных 1-форм do>°, 1-форм связности Гаь=—Г*а и 2-форм кривизны Ваь=
=—06 о:
dio1 = j/"am* Д ш*; do»2 = ^am* A w2------1“ жл’Дю2
dm1 = у и1 Д и* - ав1 Д и', do»*=—
/3 a a a
~2~ aa1 + ~2 «»’ — ~f <>>*' r»i = ~ w *»' >
(3.26a)
(3.266)
Гг4 = Y~T fl®2; r” = 0: Г„ T34=-f-w1.
в14=в„ = а*(-|- b'Ab' -
e„ = Є» = a* (-f- a>* A W4 - a2 A a>3 + -y }f\ •* А »*);
e„ = -у- аг (шг а о3 — ©2 a ®»4);
(3.26b)
32
Эти формы немедленно дают компоненты тензора кривизны Римана по отношению к базису (3.24). Можно проверить, что тензор Рнччи (2.83) в этом примере равен нулю: Rab-0, т. е. метрика (3.25) описывает решение в вакууме.
3.4. Бивекторы
Бивекторами называются антисимметричные тензоры второго ранга или
2-формы
X=XabO-Aw6. (3.27)
Простой бивектор Хаь=и[a иц представляет элемент 2-поверхности, натянутой на два касательных вектора и=н°е0 и V=Vea. Этот элемент поверхности пространственно-подобен, временно-подобен или изотропен в зависимости от того, является ли величина ХаьХаЬ положительной, отрицательной или равной нулю соответственно.
Выбирая некоторую ориентацию (окрестности) в JH, определим 4-форму Леви-Чивиты е в виде V—Ja1AM1Affl1 Л®4, где g — определитель матрицы gab,
составленной из компонент метрического тензора по отношению к положительно ориентированному базису {е„}. Для записи компонент тензора е используется обозначение eabed-
С помощью тензора Левн-Чивиты определим (в- индексных обозначениях) дуальный бивектор X:
X аь = 2 eHbcctXcd- (3.28)
Во избежание недоразумений отметим, что понятия дуального базиса н дуального бивектора имеют совершенно различный смысл. Повторное применение операции дуального сопряжения (3.28) дает
(Xabr=-Xab. , (3.29)
Бивекторы XhY удовлетворяют тождествам:
XaeYbc - XbcYac = 4“ SabXadYcd; XabYab = XabYab, (3.30)
которые можно проверить с помощью хорошо известной формулы
Iabcd^hd= -6в'[а««Л]. (3.31)
Комплексный бивектор, определяемый выражением
X*ab ^Xairftfab, (3.32)
самодуален, т. е. удовлетворяет условию
(X*ab)~=—iX*ab. (3.33)
В положительно ориентированном базисе (3.7) тензор Леви — Чивиты имеет компоненты
81234=-1. (3.34)
Это равноценно выбору ориентации четырехмерного многообразия, при которой
базис {Ba} представляет лоренцев репер с E4, направленным в будущее, и
С {Е«}, составляющими правую пространственную триаду. Если такой базис
связан с комплексной изотропной тетрадой (3.8) формулой (3.12), то (3.34)
можно переписать в виде
3—99 33
гаьытать1скл*=\. (3.35)
Самодуальный бивектор полностью определяется временно-подобным единичным вектором и и проекцией
Xa=XtabUb; McUc=-I (3.36)
в соответствии с уравнением
X*ab = 2иХ + ItabcdifX* = 2 (аХ)*. (3.37)
(о ь\ Io ы
В силу условия ортогональности XaUa=О вектор Xe фактически является комплексным 3-вектором. Как следствие этого важного соотношения получим
X*abX*“b-------4ХаХ“; Х\9 = bap7*t. (3.38)
Общий самодуальный бивектор можно разложить по векторам базиса Z**= •=(1), V, W), построенного из комплексной изотропной тетрады (3.8):
Z'eli: Uab=—1ать-\-1ьта;
Z2E=V : Vab=kamb—kbma; (3.39)
: ab‘ tTXаҐПb ' bо Ib —I—^й•
Все свертки, за исключением
UttbVab=2, WabWob=—4. (3.40)
исчезают. С помощью уравнения (3.35) можно проверить, что бивекторы (3.39)
самодуальны: 2“ й= — 1?,. Комплексно-сопряженные бивекторы U, V, W образуют базис {Za} пространства аитисамодуальных бивекторов, т. е. подчиняющихся условию 2%, = іZ^b .
Изотропные вращения (3.14), (3.15) индуцируют следующие преобразования бивекторов (3.39):
1 фиксировано:
Vab=Uab, Vab=Vab—EWab+E*Uab, W’ab=W ab~2EU ab\ (3.41а) к фиксирован:
Vab=Vab, U'ab^Uab—BWab+^Vab, Wfab=Wab-ZBVab. (3.416) Общий бивектор можно разложить по базисным векторам {Z“, ZeJ:
Xab= CaPab + dJ^ab- (3.42)
В заключение приведем соотношение
2oVf% = 0. (3.43)
Cm.: [Jordan е. а. (1960); Greenberg (1972а, Ь); Israel (1970); Debever (1966); Zund, Brown (1971)].
