Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Общий базис {е0} определяется системой п линейно независимых векторов
любой вектор ve Tv можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов е0, а именно:
v=aae0. (2.4)
Действие базисного вектора е„ на функцию / обозначается символом fia = ssea(f). В случае координатного базиса мы будем использовать вместо вертикальной черты запятую f,i=df/dxi. Несингулярное линейное преобразование базиса {е„} индуцирует изменение компонент Vа вектора v:
еа,=LbaAb; i’a'=La'bVb; La'bL*a,=6cb. (2.5)
Координатный базис (Ofdxi) представляет собой специальный случай базиса {е„}. В ранее изданной литературе по общей теории относительности при выполнении расчетов отдавали предпочтение компонентам векторов и тензоров, записанных по отношению к координатному базису. Однако для многих целей удобнее применять общий базис (тетрады). Хорошо известными примерами такого утверждения являются классификация Петрова (см. гл. 4) и формализм Ньюмена — Пенроуза (см. гл. 7).
Можно построить векторное поле v(p) на Jf, ставя в соответствие каждой
точке psJt касательный вектор veTp так, чтобы компоненты Vі являлись диф-
ференцируемыми функциями локальных координат.
Из идентификации векторов с производными по направлению следует, что в общем случае результат последовательного применения двух базисных векторов е0 к функции зависит от порядка, в котором эти операторы действуют. Коммутатор [u, v] двух векторных полей uhv определяется соотношением [u, v](/)=u(v(f))— v(ay)). Для данного базиса {е0} коммутаторы
[е„, Єь]=ОсгіЬЄс; Dcab=—DcЬа (2.6)
определяют коммутационные коэффициенты Dc„b- Очевидно, для координатного базиса D°ab исчезают: [д/дх*, д/дх>]=0. Коммутаторы удовлетворяют тождеству Якоби
[u, [v, w]] +Iv, [w, u]]-b{wju, v]]=0, (2.7)
где и, v и w — произвольные векторные поля. Из (2.6) и (2.7) (при постоянных Dcаь) следует тождество
Д'“|Л]=°- (2-8)
2.4. 1-формы
По определению 1-форма (пфаффова форма) о является отображением вектора V в действительное число и представляет собой свертку, обозначаемую
18
символом Ca, v>. Это отображение обладает свойством линейности
<a, au+6v>=a<a, e>-f6<cr, v>, (2.9)
где а и б действительны, а u, VeT1p. Линейная комбинация 1-форм о, т определяется по правилу
<ao+6t.v> = a<a, v>+6<t, v> (2.10)
для действительных а, 6; п линейно независимых 1-форм <а°, определяемых единственным образом выражением
<ю“, еь>=б“ь, (2.11)
формируют базис {©“} пространства Т*р, дуального касательному пространству Tp. Базис {о)"} называется дуальным к базису {е6} пространства Tv.
Любую 1-форму оєТр можно представить в виде линейной комбинации базис-
ных 1-форм 0)“:
O=O0IOa. (2.12)
Для любых а&Т*р, V^Tp свертку <о, v> в базисе {(¦>“}, {еа} можно выразить через компоненты о0, va 1-формы о и вектора v:
<a, v>=oava. (2.13)
Дифференциал df произвольной функции / является 1-формой, определяемой свойством 1
<df, v>=v(f) „. (2.14)
Применение этого определения к функциям f=x\.... хп приводит к соотношению
<dx\ д/дх>>=&и (2.15)
показывающему, что базис {dx‘} пространства Т*v дуален координатному базису {dfdxi} пространства Tv. Любую 1-форму аеТ*р можно записать в базисе {dx‘} в виде
a—Oidx'. (2.16)
В локальных координатах дифференциал df имеет обычную форму:
d/=/laft>°=/,,-dx<. (2.17)
Поле 1-форм на Л определяется аналогично векторному полю. Компоненты
о, являются дифференцируемыми функциями локальных координат. В тензорном анализе компоненты О; часто называют «компонентами ковариантного вектора».
2.5. Внешнее произведение
Рассмотрим р 1-форм а1,..., ар. Алгебраическая операция Д, называемая внешним произведением (или клиновым произведением), определяется следующей системой аксиом: 1) внешнее произведение a’Aa2A... Да? линейно по каждой переменной; 2) обращается в нуль при совпадении любых двух сомножителей; 3) изменяет знак при перестановке любых двух сомножителей. Из
2* 19
этих аксном следует полная антисимметричность внешнего произведения. Из базисных 1-форм «а1,..., о)п получаются (%) независимых р-форм.:
to0* А ••• А<о°р, 1 <а,<в2< (2.18)
Аксиома 2) показывает, что эти внешние произведения исчезают при р>п. Любая р-форма а является линейной комбинацией р-форм (2.18):
“(р) = aO1 А- А«Ч (2.19)
где все индексы пробегают значения от 1 до л, а суммационные ограничения, содержащиеся в (2.18), отброшены. Представление а<Р) через дуальный координатный базис имеет вид:
aIp) = ai, ¦¦¦ 1ра*1' A ...AdxiP. (2.20)
р-Форма О(р) называется простой, если она допускает представление в виде внешнего произведения р линейно независимых 1-форм:
a(p) = “l А“2А А“р- (2.21)
Внешнее произведение можно распространить на формы произвольных степеней в соответствии со следующим правилом:
(a« А ... А оР) А (?‘ A ... A W = а1 А... АаР А S1А ... A P- (2.22)
Внешнее умножение обладает свойствами ассоциативности и дистрибутивности. Однако свойство перестановочности несколько видоизменяется, а именно:
“(р) А Є<9> = (— 1)и?{$>Л“(р). (2.23)
