Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так как в основном мы будем иметь дело со специальными приложениями, следует особое внимание уделить правилам манипулирования и расчетов в дифференциальной геометрии. Мы не ставим своей целью заменить стандартные курсы по этой дисциплине, например, такие, как [Flanders (1963); Stoker (1969); Brickell, Clark (1970); Sternberg (1964); Helgason (1962); Kobayashi1 Nomizu (1969); OChoguet-Bruhat e. a. (1978)], к которым читатель может обращаться за более полной информацией и за доказательством многих теорем. Полезное для наших целей введение в дифференциальную геометрию содержится в следующих книгах по теории относительности; [Hawking, EIlis (1973); Misner е. а.
(1973); Israel (1970)].
В целях выявления аналогии с традиционным подходом к тензорному исчислению некоторые формулы представлены как в бескоординатной форме, так н в рамках обычного формализма, основанного на использовании координатных компонент тензоров.
2.2. Дифференцируемые многообразия
Дифференцируемые многообразия — важнейшие базовые структуры дифференциальной геометрии. Интуитивно (л-мерное) многообразие представляет собой пространство JC, такое, что любая точка р^Л обладает окрестностью
16
ЩаЖ гомеоморфной внутренности [(л—1)-мерной) единичной сферы. Для математически точного определения дифференцируемого многообразия необходимо ввести дополнительную терминологию.
Карта (41, Ф) в Ж состоит из подмножества 0U множества Ж вместе с однооднозначным отображением Ф подмножества eU на n-мерное евклидово пространство En (или открытое подмножество множества En). Ф ставит в соответствие каждой точке рє41 строку действительных переменных ¦— локальные координаты (*‘....я'1).
Две карты (41, Ф), (eU', Ф') называются согласованными, если комбинированное отображение ФОФ-1 образа <b(4lt)4?r) пересечения 41 н 0Ur является гомеоморфизмом (т. е. непрерывно, одно — однозначно и имеет непрерывное обращение) (рис. 2.1).
Атласом на Ж называется такая система согласованных карт (eUa, Фа), что любая точка из Ж находится в окрестности по крайней мере одной карты. В большинстве случаев многообразие невозможно покрыть одной картой (примером может служить л-мерная сфера).
л-мерное (топологическое) многообразие состоит из пространства Ж и атласа на нем. Ж представляет собой дифференцируемое многообразие (класса Ch или аналитическое), если отображения Ф'ОФ-1, связывающие различные карты, не являясь, вообще говоря, непрерывными, дифференцируемы (класса Ck или аналитические соответственно). В этом случае координаты связаны с помощью п дифференцируемых функций (класса Ck, аналитических) с отличным от нуля в каждой точке пересечения якобианом
Xir=Xir(Xi), &ti(dx'r/дх>)фв. (2.1)
Определения многообразий часто включают дополнительные топологические ограничения, такие, как паракомпактность и хаусдорфовость, которые несомненно существенны для строгого доказательства некоторых устанавливаемых нами результатов.
Для краткости рассмотрение всех вопросов такого рода в дальнейшем будет опускаться.
Достаточно полное их обсуждение приводится в цитированной ранее литературе.
Дифференцируемое многообразие Ж называется ориентируемым, если существует такой атлас, для которого якобиан всюду на пересечении любых пар карт положителен.
Еслн Ж и многообразия тип измерений соответственно, то можно естественным образом определить (т-\-п) -мерное произее-дение ЖХЛ3.
Отображение Ф: Ж^-JC называется дифференцируемым, если координаты (ух, ..., уп) на V^N являются дифференцируемыми функциями координат (х1, ..Xм) сответствующих точек в L/єЖ, где Ф — отображения (части) окрестности U на окрестность V.
Гладкая кривая Y(0 определяется с помощью дифференцируемого отображения отрезка действительной линии на Ж,
у(0 :—е</<E—>-Ж.
2.3. Касательные векторы
В общем случае вектор нельзя рассматривать как стрелку, соединяющую две точки многообразия. Непротиворечивое обобщение понятия векторов в En осуществляется на основе идентификации векторов на Ж с касательными векторами. Касательным вектором v в точке р называется оператор (линейный функционал), который каждой дифференцируемой функции f на Ж ставит в соответствие действительное число v(f). Этот оператор удовлетворяет аксиомам:
v(f-b/t)=v (/)-hv (Л);
v(fh)=hv(f)+fv(h); (2.2)
2—99 *7
Рис. 2.1. Две согласованные карты дифференцируемого многообразия
V (?/) = CV (f), C=COnst.
Из приведенных аксном следует, что для любой постоянной функцнн с выполняется соотношение к(с)=0. Определение (2.2) не зависит от выбора координат. Касательный вектор представляет собой производную по направлению вдоль кривой y(t), проходящей через точку р. Разлагая любую функцию } в точке р в ряд Тейлора н используя аксиомы (2.2), нетрудно показать, что любой касательный вектор Vb р можно записать в виде
V=ViSIdxi. (2.3)
Действительные коэффициенты Vх являются компонентами вектора v в точке р по отношению к локальной координатной системе (х1,..., хп) в окрестности р.
Согласно (2.3) производные по направлениям вдоль координатных линий в точке р образуют базис n-мерного векторного пространства, элементами которого являются векторы, касательные в точке р. Такое векторное пространство называется касательным пространством Tp. Базис (Sfdxi) носит название координатного базиса или голономного репера.
