Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Оглядываясь теперь назад на итоги трехлетней работы, мы не испытываем ощущения, что решили любой из этих вопросов полностью и удовлетворительным образом. В частности, мы могли случайно пропустить много полезных результатов и решений. Однако нам удалось написать книгу за ограниченный срок главным образом потому, что был разделен труд по прочтению статей и затем распределено написание соответствующих разделов. За вводную часть I в основном был ответствен Крамер, о группах (часть И) писали Мак-Каллум, Крамер и Штефани, об алгебраи-
4
чески специальных решениях — Штефани, Крамер и Херльт, а часть IV (специальные методы) и часть V (таблицы) — Крамер и Штефани. Каждый раздел обсуждали затем совместно с другими авторами, так чтобы писавший не был полностью ответствен за все ошибки и упущения. Мы будем благодарны читателям, если они укажут нам на обнаруженные ошибки и упущения; мы также будем рады ответить на все вопросы относительно дальнейшей информации.
Эта книга, конечно, не была бы написана, если бы не усилия многих ученых, чьи результаты здесь воспроизведены, и, особенно, если бы не внимание тех, кто прислал препринты, репринты, ссылки и советы. Она не могла бы появиться без непосредственной помощи фрау Кашлик и фрау Райхардт в Иене и миссис Смит в Лондоне, которые выполнили всю секретарскую работу, включая переписку на машинке неразборчивой и нескончаемой рукописи, помощи студентов из Йены, которые следили за картотеками ссылок, помощи профессора Шмутцера, который поддержал проект с самого начала, содействия физического факультета в Йене и отделения прикладной математики в Колледже королевы Марии (Лондон). Наконец, что не менее важно, мы благодарим жен, семьи и коллег за терпеливое отношение к нашим постоянным размышлениям и дискуссиям.
Дитрих Крамер Ханс Штефани Эдвард Херльт (Йена)
Малькольм Мак-Каллум (Лондон)
Январь 1979
Обозначения*
Комплексное сопряжение обозначается чертой над символом
Индексы
Строчные латинские индексы пробегают в л-мерном пространстве значения от 1 до п, а в пространстве-времени Vi значения от 1 до 4. Буквы из первой части алфавита (a, b,..., h) используются в качестве тетрадных индексов, т. е. относятся к общему базису {е0} или к дуально ему сопряженному {«“}; буквы і, /,... резервируются за координатным базисом \д/дх'} или за дуально ему сопряженным {dx‘}. Обозначения векторов v и 1-форм а мы будем писать V= —vaea=v‘d/dxl, O=Oa^a=Oidx1. Если не оговорено особо, строчные малые греческие буквы пробегают значения от 1 до 3. Прописные латинские буквы применяются в качестве спинорных индексов (Л, B=I, 2), либо индексов в групповом пространстве (А, B= 1, ..., г). Кроме того, ими пронумерованы координаты в римановом 2-пространстве V2 (M, N=\, 2).
Симметризация и антисимметризация пар индексов:
I 1
— 2 (Vab~^~vba)t ЩаЬ] ^ 2 ^bn)'
* Здесь приведен перечень только некоторых важных обозначений, часто используемых на протяжении всей книги. Все символы объясняются в тексте.
5
Метрика н тетрады
Линейный элемент, выраженный через дуальный базис {ю0}:
dsi=gabb)a(Ob.
Сигнатура метрики пространства-времени: (-{—| ¦ |—).
Коммутационные коэффициенты: исаь\ [евЄб]=ДсобЄс.
Изотропная (комплексная) тетрада: {ea}=(m, in, I, к);
gab=2m(anib)—2k(albh dS2= 2(O1 (0і—2<1>3(04.
Ортонормнрованный базнс: {Ев}.
Тензор проектирования: hab^gab-\-uaub-, иаиа=—1.
Бивекторы
Псевдотензор Леви — Чивиты: BodcdI Babcdtna mblckd—i.
1
Дуальный бивектор: Xa ь ^ ~Y ^abedXcd.
Самодуальный (комплексный) бивектор: Х'оь^Хоь+і^оь.
Базис самодуальных бивекторов: иаь^2гп^а1ьу,
Ve6=2fe[amjj; Wab*^2m[ambj—2k^albj.
Производные
Частные производные обозначены запятой перед индексом или координатой, т. е. },i^dfldxi^dif\ f, ^ ^df/д%; производная по направлению вертикальной чертой лнбо запятой /,osf.jsejff). В случае, когда за знаком производной следует числовой (тетрадный) индекс, преимущественно будет использоваться черта, т. е. Zu=Aifc*- Производные по направлению вдоль изотропных тетрад (ш, m, 1, к) обозначаются символами:
Sf=/n; 6f=fn; AMi з; Df=fu.
Ковариантные производные обозначаются символом V. ПРИ компонентной записи обозначаются точкой с запятой. (В некоторых случаях, когда нужно указать, что в V4 метрика отлична от gab, используются обозначения Hab^ г=0;
Yaftjr = 0-)
Производная Ли тензора T относительно вектора v: S’* Т.
Внешняя производная: d.
Связность и кривизна
Коэффициенты связности: Г°Ьс; »‘,;с=°в.с+Гв6сР1’.
1-формы связности: Г“бэГ«6емс; Aoa=—Г<Об)=0.
Теизор Римана: Rdаьа', 2va. ^ = VdRdaItc-
2-формы кривизны: 0°й э Rf1be^s A = dT°b + Г°с Д Tcb.
Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и скалярная кривизна:
Rab R?acb> ^ с: ^ Rab' 2 ^ЯаЬ' R^R^a-
Тензор Вейля в V4:
и
Cabcd s Rabed Ч" 3 ga Ie SdJ b~ gate RdJ b "Ь gb Ie RdJ а •
6
Компоненты тензора Вейля в изотропной тетраде:
W0 = Cabedkambkcmd; W1 =. Cabcdmbkcmd;
V2 ^ 4~ Cabcdk0Ib (kcld — mcmd);
V3 =*Cabcdlakblcmd; Wi^CabcdIbkbIcHid.
