Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Метрика 2-пространства постоянной кривизны: da2=dx2+Y2(x, e)dy2,
где
{sin х, г = I; х, s=0; sh X, є = — I.
Гауссова кривизна: К.
Физические поля
Тензор энергии-импульса: Т„ъ\ Таьиаиь^0; иаиа=—1. Электромагнитное поле: тензор Максвелла: Fab',
Tab=^ FtacF^c.
Компоненты Fab в изотропной тетраде:
Ф* эа Fabk0Znb; ф, 23-у Fab (kalb -f M°mb); ф2 = Fabnfllb. Идеальная жидкость: давление р; плотность энергии ц; 4-скорость и;
= (М-~Ь"Р) uaUb-\-pgub-
. Космологическая постоянная: А.
Гравитационная постоянная: х0.
Уравнения Эйнштейна:
Rab 2 ^8аЬ Ч" Agab = хоТаЬ-
Симметрии
Группа движений (r-мерная): Gr; группа нзотропин (s-мерная) H1. Векторы Киллинга: А = 1, ..г; |, т|, ?.
Уравнение Киллинга: (-Z^g)аь = 5о; ь + Si; 0 = °-
Структурные константы: CcАв\ [|а, Ъв]=СслвЪс.
Орбиты (m-мерные) группы GT: Sm (пространственно-подобные), Tm менно-подобные), Nm (изотропные).
Глава I
Введение
1.1. Что такое точные решения и зачем их исследовать?
В состав современных физических теорий обычно входят математические модели, описываемые некоторой системой дифференциальных уравнений и дополненные сводкой правил для перевода математических выводов на язык содержательных высказываний относительно физического мира. Что касается вариантов теорий тяготения, то общепризнанной является общая теория относительности Эйнштейна. В ней дифференциальные уравнения сводятся к чисто геометрическим требованиям, накладываемым на римано-во (лоренцево) многообразие, которое представляет пространство и время, причем взаимодействие материи и гравитации описывается знаменитыми уравнениями Эйнштейна:
Rab 2~ + ^Sab = \^ab' (1 • 1)
(Полное определение входящих сюда величин даяо ниже.) Мы будем рассматривать в этой работе только теорию Эйнштейна.
Безусловно, мы не беремся обсуждать все аспекты общей теории относительности. Тех, кто интересуется основополагающими проблемами фундаментальных понятий (процессы измерения с помощью стержней и часов и т. п.), мы отсылаем к другой литературе. Как и в любой физической теории, здесь встречаются и чисто математические задачи возможно более глубокого исследования системы дифференциальных уравнений и отыскания как можно большего числа точных решений или как можно более полного общего решения. После этого настает черед математического и физического истолкования полученных таким образом решений *. Для этого в случае общей теории относительности необходимо привлекать методы анализа в целом и топологии, а не просто рассматривать локальные решения дифференциальных уравнений. В случае теории тяготения необходимо (так как эти теории описывают наиболее универсальное из физических взаимодействий) заниматься и еще одним типом проблем, а именно воздействием гравитационного поля на другие поля и вещество. Такие исследования часто проводятся на базе заданного гравитационного поля — обычно точного решения уравнений Эйнштейна.
* Систематическое изложение монадных и диадных методов задания систем отсчета и определение наблюдаемых в общей теории относительности величин см.: Владимиров Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации. М., Энергоиздат, 1982; тетрадный метод и его применение в общей теории относительности см.: Иваницкая О. С. Обобщенные преобразования Лоренца и их применение. Минск, Наука н техника, 1969; Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновской теории тяготения. Минск, Наука и техника, 1979; хроно-геометрическнй способ задания систем отсчета и определения наблюдаемых см.: Синг Дж. Общая теория относительности. М., Изд-во иностр. лит., 1963. — Примеч. ред. перевода.
8
Эта книга посвящена в первую очередь решениям уравнений Эйнштейна и касается других вопросов лишь постольку-поскольку. Самый убедительный довод в пользу исключения тех вопросов, которые здесь опущены, это то, что разбор каждого из них требовал бы написания еще одной книги такого же объема (а некоторые уже написаны), и мы, конечно, приводим ссылки на соответствующую литературу. К сожалению, нельзя сказать, что исследование точных решений всегда сочеталось с разработкой их физических аспектов. Киннерсли [Kinnersley (1975)] писал: «Большинство известных точных решений описывает ситуации откровенно нефизические, и существует тенденция меньше всего внимания уделять самым полезным решениям. Однако вина за такое положение частично лежит и на нас — тех, кто работает в этой области. Мы углубляемся в изотропные токи, макроскопические поля нейтрино и теорию тахионов в погоне за большей «общностью». Нам как будто доставляет удовольствие придумывать уводящие в сторону и противоположные интуиции понятия. А сделав это, мы оставляем нашу новорожденную метрику хромать на разъезжающейся во все стороны тетраде без малейшей надежды на истолкование» *.
В защиту исследования точных решений можно указать, что некоторые из них сыграли очень важную роль для понимания и обсуждения физических проблем. Очевидные примеры — решения Шварцшильда и Керра для черных дыр, решения Фридмана в космологии и решения для плоских волн, которые помогли преодолеть некоторые затруднения в вопросе о существовании гравитационного излучения. Следует также заметить, что не всегда бывает легко предсказать возможные качественные свойства решений из-за чрезвычайной нелинейности общей теории относительности, и поэтому трудно переоценить ту роль, которую играют точные решения, в том числе и ряд таких, как решения Тауба — НУТ, казалось бы, нефизические. Хотя этот факт и не является общепризнанным, из нелинейности следует также, что метод возмущений может таить в общей теории относительности скрытые опасности (см., например, [Ehlers е. а. (1976)]). Очень полезны для проверки пригодности приближенных методов те точные решения, которые удается сравнить с приближенными.
