Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме приведенных доводов в пользу написания книги, посвященной классификации и построению точных решений, можно еще заметить, что при всей своей обширности наши познания не являются всеобщими из-за изобилия журналов, языков и математических представлений. Мы надеемся, что наши усилия приведут к тому полезному результату, что коллегам не нужно будет тратить столько времени на новое открытие уже известных решений. В частности, мы надеемся, что наша попытка инвариантно охарактеризовать уже известные решения поможет читателям при ото-
* В оригинале игра слов: «wobbling on its vierbein»; использован немецкий вариант слова тетрада, Vierbein, буквально означающий «четвероножка». — Примеч. перев.
9
ждествлении своих будущих новых результатов с уже существующими.
Читателя может удивить огромное число известных точных решений. Te, кто не работает в этой области, часто полагают, что из-за сложности уравнений Эйнштейна в общем виде может быть известно лишь очень ограниченное число решений. В определенном смысле это верно — мы знаем довольно мало точных решений, отвечающих истинно физическим задачам. Например, для большинства решений отсутствует полное описание взаимосвязи между полем и его источниками. В число задач, для которых не получено точного решения, входят: проблема двух тел, реалистическое описание нашей неоднородной Вселенной, гравитационное поле стационарно вращающейся звезды, генерация и распространение гравитационного излучения от реалистического ограниченного источника. В то же время есть некоторые проблемы, где точные решения являются, возможно, единственным ответом,— таковы, например, решения Керра и Шварцшильда для конечной стадии коллапса массивных тел.
Если не накладывать никаких ограничений на тензор энергии-импульса, то любая метрика будет «решением» уравнений (1.1), так как эти уравнения играют тогда роль простого определения Таь- Поэтому нам прежде всего следует сформулировать предположения о tab. Затем можно, например, наложить на метрику условия симметрии, выбрать конкретную алгебраическую структуру для тензора Римана, ввести уравнения поля для источников (переменных, описывающих «материю») или задать начальные и граничные условия. Все известные точные решения были получены с использованием тех или других ограничений такого рода.
Мы пользуемся выражением «точные решения», не собираясь давать определение. Ясно, что если компоненты метрики можно задать в допустимой системе координат с помощью общеизвестных аналитических функций (полиномов, тригонометрических и гиперболических функций и т. п.), то эту метрику можно назвать точным решением. При этом нет оснований исключать какую-либо аналитическую функцию, даже если она определяется только некоторой системой дифференциальных уравнений. Поэтому смысл термина «точное решение» становится более расплывчатым, чем хотелось бы, хотя и создается впечатление, что свойства метрики в каком-то смысле полностью определены. Итак, общепризнанного строгого определения не существует. Мы, CO своей стороны, исходим в основном из того, что все отобранные нами решения являются по определению точными решениями.
1.2. Об истории предмета
В течение первых нескольких лет (или десятилетий) при исследовании общей теории относительности обсуждалось довольно незначительное число точных решений, полученных при решении сильно идеализированных физических задач и обладавших очень
10
высокой степенью симметрии. В качестве примеров можно указать хорошо известные сферически-симметричные решения Шварц-шильда, Райснера и Нордстрема, Толмена, Фридмана (этот последний автор использовал метрику пространственно-однородного вида, ныне связываемую с именами Робертсона и Уокера), аксиально-симметричные электромагнитное и вакуумное решения Вейля и метрики для плоских волн. Хотя в то время был рассмотрен лишь этот ограниченный ассортимент решений, нам, честно говоря, следует признать, что в него входят почти все важные для физических приложений точные решения. Пожалуй, из всех решений, найденных в послевоенное время, по своей важности с ними сравнимо только решение Керра.
Первоначально в общей теории относительности активно работали сравнительно мало исследователей. Нам представляется, что в то время пренебрежительно оценивали важность точных решений, не считая, возможно, моделей звезд и Вселенной, по причине крайней незначительности релятивистских поправок к теории тяготения Ньютона. Конечно, делали попытки решить широкий круг физических задач, но в большом числе случаев в рамках приближенных методов, в частности в приближении слабого поля и малых скоростей.
К тому же многие обычные теперь методы тогда были либо неизвестны, либо незнакомы большинству релятивистов. Первым получило распространение использование групп движений, в особенности при построении космологических моделей более общих, чем фридмановские. Затем появилась алгебраическая классификация тензора Вейля (типы по Петрову) и были поняты свойства алгебраически специальных метрик; частично это было основано на изучении проблемы гравитационного излучения. Оба эти новшества естественным образом привели к использованию тетрадных базисов, определенных инвариантно, вместо координатных компонент. Из метода изотропной тетрады и некоторых соображений теории представлений групп и алгебраической геометрии развилась спи-норная техника и эквивалентные ей методы, ныне обычно используемые в форме, принадлежащей Ньюмену и Пенроузу.
