Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью этих методов удалось получить множество новых решений, и число их продолжает увеличиваться. Теперь ежегодно появляется более 100 новых статей по точным решениям.
Все эти стимулы и заставили нас написать эту книгу.
1.3. Содержание и структура книги
Мы начинаем, естественно, с введения дифференциальной геометрии (гл. 2) и римановой геометрии (гл. 3). Наше изложение не может служить формальным учебником по этим дисциплинам, и целью здесь было лишь привести обозначения, определения, методы вычислений и (как правило, без доказательств) стандартные результаты, которые потребуются в последующих главах. Дальнейший ход изложения представляется менее бесспорным.
11
Существует по крайней мере четыре метода классификации известных точных решений, представляющие, видимо, более или менее одинаковую важность. Это 1) алгебраическая классификация тензора конформной кривизны (типы по Петрову), 2) алгебраическая классификация тензора Риччи (типы Плебаньского) и физическая характеризация тензора энергии-импульса, 3) существование и структура выделенных векторных полей и 4) группы симметрии, «допускаемые» данной метрикой (т. е. существующие в таком многообразии). Каждому из этих методов мы посвятили по одной главе (соответственно гл. 4, 5, 6 и 8) и ввели терминологию и методику, применяющиеся в дальнейшем, а также сформулировали некоторые общие теоремы. В состав этих глав мы ввели еще одну (гл. 7), где излагается формализм Ньюмена — Пенроуза. Расположение этого материала в книге выбрано в соответствии с тем, что данный формализм сразу же может быть применен для выявления некоторых взаимосвязей между вопросами, рассмотренными в предыдущих трех главах.
Явный четырехмерный вид решений, следующий для каждого из методов классификации, указанных выше, возможно, устроил бы релятивистов, но авторы сочли этот путь нерациональным. Можно было бы по очереди разобрать эти вопросы для каждой из классификаций, но это привело бы к длиннотам и повторениям (последнего избежать все-таки не удалось, и некоторые решения представлены в разных разделах). Поэтому мы решили уделить основное внимание двум методам, которые, как можно думать, шире всего использовались при нахождении и конструировании новых решений, а именно методу групп симметрии (ч. II) и методу типов по Петрову (ч. III). Другие основные методы классификации использовались для подразделения различных классов решений, обсуждающихся в ч. II и III, на подклассы, что отражено в виде таблиц в ч. V. Мы сочли также необходимым включить ряд глав (ч. IV), посвященных менее общим способам классификации и конструирования точных решений.
Конкретный выбор тензора энергии-импульса сыграл очень важную роль, так как мы еще в самом начале решили, что нет никакой возможности дать исчерпывающий обзор всех видов тензора энергии-импульса, которые когда-либо рассматривались. Поэтому мы ограничились следующими случаями тензора энергии-импульса: для вакуума, электромагнитного поля, чистого излучения, пыли и идеальной жидкости. (Термин чистое излучение относится здесь к тензору энергии-импульса, описывающему перенос всей энергии в одну и ту же сторону со скоростью света; в литературе этот случай еще называют изотропным полем, изотропной жидкостью и изотропной пылью). В общем мы не рассматривали сочетания этих случаев и сшивания решений с одним и тем же или разными тензорами энергии-импульса (например, шварцшильдов-ские вакуоли во фридмановской вселенной), а космологическую постоянную Л хотя иногда и вводили, но не обсуждали систематически во всей книге. Такие ограничения могут кого-нибудь ра-
12
зочаровать — особенно тех, кто занимается решениями, связанными с заряженными идеальными жидкостями, скалярным полем, полем Дирака и нейтринным полем или с упругими твердыми телами. Эти ограничения были установлены не только из-за того, что мы сочли их необходимыми, но также и потому, что большинство известных решений получено для указанных выше типов тензора энергии-импульса и для них удается сделать достаточно полный и систематический обзор. Конечно, в конце концов это все-та-ки дело вкуса.
Материал, вошедший в ч. II, более подробно охарактеризован в § 9.1. Здесь мы лишь заметим, что сначала рассматриваются неизотропные, а затем — изотропные орбиты для групп (как они определены в гл. 8), следующие друг за другом в порядке убывающей размерности этих орбит, а затем (обычно) в порядке убывающей размерности групп. Некоторые частные случаи, представляющие особый физический или математический интерес, выделены из этого систематического перечисления, и им посвящены отдельные главы, как, например, пространственно-однородным космологиям и сферически-симметричным решениям. Внутри каждой главы мы стремились прежде привести результаты, относящиеся к дифференциальной геометрии (т. е. общий вид метрики и тензора кривизны), а затем для каждого типа тензора энергии-импульса по очереди — соответствующие конкретные решения. Такому принципу мы следовали также в ч. III и IV.
Ч. III задумана как возможно более полный обзор той хорошо разработанной теории, которая применяется к алгебраически специальным решениям в вакууме, электромагнитном поле и в поле чистого излучения. В литературе дан подробный анализ лишь малого числа классов — главным образом очень частных случаев алгебраически специальных решений для идеальной жидкости; краткий обзор этих классов дан в гл. 29. Некоторые из алгебраически специальных решений допускают также группы движений. В тех случаях, когда они известны (а, как мы знаем, систематическое исследование проводилось не всегда), мы, конечно, даем соответствующие указания в тексте и таблицах.
