Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
24
2.8. Производная Ли
В каждой точке рєЛ векторное поле v на Л определяет единственную кривую Yp (0 так, что Yp(O)=P и v является касательным вектором к кривой. Семейство таких кривых называется конгруэнцией, соответствующей векторному полю. Вдоль кривой Yp(0 локальные координаты уп) являются реше-
ниями системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dyildt=vi(yl(t) ...yn(t))
(2.54)
с начальными данными у*(O)=Ati(р).
Для введения нового типа дифференцирования рассмотрим отображение Ф<, увлекающее каждую точку р с координатами Xі вдоль кривой Yp(0. проходящей через р, в точку изображения ?=Ф((Р) с координатами г/'(0- Для достаточно малых значений параметра t отображение Ф< является одно-однозначным отображением, индуцирующим отображение Ф*(Т произвольного тензора Т. Производная Ли тензора T относительно v определяется следующим образом:
^vT
і Iim-4- (ф*<Т ¦
/-»о *
¦Т).
(2.55)
Тензоры T и Ф*(Т обладают одним и тем же типом (о, s) и вычисляются в одной и той же точке р. Таким образом, производная Ли также является тензором типа (г, s) в р. Если тензоры T и Ф*(Т совпадают, производная Ли обращается в нуль. В этом случае тензорное поле T остается в некотором смысле «тем же самым» при переносе вдоль интегральных кривых векторного поля V. Тем не менее компоненты T по отношению к координатному базису {д/дх'} могут изменяться вдоль кривых. Используя координатные базисы {д/дх*} и {д/ду'}, можно вычислим» компоненты производной Ли. Будем использовать соотношения
Oyi I
dxk L1
dy‘
dt
t=o
dx‘
~df
= —Vі
ґ=о
(2.56)
Начнем с производных Ли от функций, 1-форм и векторов. Функция /:
ay = w'f./.
(2.57)
Доказательство:
df dy1
<b*tf\P=f(y(*. 0); SBvUp= -ф--Jf
1-Форма а:
Доказательство:
Seva ^ (VmOii m + «„o'".,) Лс*.
dyl , ¦
ф*і° Ip = «і (у (*• 0)
Г daj dy'n дні i d f dyi \
5V IP = I dy™~ dt Sxi + dx{ \ dt J
dxl.
t = 0
Вектор u:
SCvU = (VmUi. m — UmV1. m)
(2.58)
(2.59)
25
Доказательство:
. . , дх1 д
ФіЧ>=«'(?<*.
[dui dsr дх‘ . д / dx‘ \] д
aVlIp-At ду1 +“ йу/ ( At JJ<=# дхі •
Производная Ли вектора и относительно вектора v эквивалентна коммутатору [v, и]:
5?уи = [V, и] = ¦-^r (a* -Jr) -о- (*' ~г). (2.60)
Коммутирующие векторные поля порождают семейство двумерных подмногообразий на JC, в которых параметры интегральных кривых обоих векторных полей можно выбрать в качестве координат.
С помощью правила Лейбница дифференцирования произведений и формул (2.58), (2.59) получим компоненты производной Ли произвольного теизора:
(2V Ч[:::=::: m - г$:: 0;п - т#.:.- v{m -
- - + tIIiZ ^k+tI":. Л + - (2.61)
Из уравнений (2.50) и (2.55) следует, что производная Ли, примененная к формам, коммутирует с внешней производной
d (SLv*.) = Xv (da) (2.62)
для любой р-формы а. Используя формулы (2.39) и (2.61), это правило, несомненно, можно проверить в компонентной форме записи.
Как будет видио в дальнейшем, производная Ли играет важную роль при описании симметрий гравитационного и других физических полей.
Внешняя производная и производная Ли представляют собой операции, определенные на дифференцируемом многообразии без введения дополнительных структур. Обе производные являются обобщениями частных производных. Внешняя производная демонстрирует пример обобщения, ограниченного действием только на формы. Производная Ли зависит от вектора v не только в точке р,
но и в близлежащих точках. Для введения ковариантных производных, свобод-
ных от этих дефектов, следует наложить новую структуру на JC, чем мы и займемся в следующем параграфе.
Cm. [Schouten (1954); Yano (1955)].
2.9. Ковариантная производная
Ковариантная производная Vv в направлении вектора v в точке р отображает произвольный тензор на тензор того же типа. Если v не задано, ковариант-иая производная V теизора типа (г, s) порождает тензор типа (г, s+1). В частности, для вектора и имеем разложение
уи=а0;ьео®ш6 (2.63)
с компонентами иа-ь, не связанными с векторным полем v. В то же время ковариантная производная по направлению v задается вектором
VvN«“;» (2-64)
Коварнаитную производную базисного вектора е0 в направлении базисного вектора еь можно разложить по базисным векторам:
Vfrea=FeOiec; Гсаь=«вс, V»e0>. (2.65)
Кроме того, в соответствии с (2.11) и (2.65) предположим, что ковариант-
ная производная дуального базиса {*»"} имеет вид:
V6M0=-F0Cbac. (2.66)
26
Коэффициенты Гсаь, называемые коэффициентами связности, связывают векторы базиса в различных точках M и их необходимо рассматривать как дополнительную структуру, наложенную на Ж. Ограничимся ковариантными производными, удовлетворяющими условию
VuV — VvU = [u,v] (2.67)
для двух произвольных векторов UHV. Это соотношение эквивалентно уравнению
2Г сШ=~&а.Ь, (2.68)
где коммутационные коэффициенты Dca,ь определяются формулой (2.6). В координатном базисе коэффициенты связности Гс0ь симметричны по индексам (a, b). В связи с этим ковариантная производная, удовлетворяющая (2.67), называется симметричной (или свободной от кручения).
