Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Mb
(3.65)
может играть роль метрики в этом пространстве. Спинорные индексы поднимаются и опускаются в соответствии с правилом
VA = zABtB <=* Va = ?В eBA- (3-66)
Отметим, что фаЄав=?євАфА. Скалярное произведение двух спиноров (с компонентами фА и 1|>А) тогда определяется выражением
еАвфАі|>в=фАфА=—1<Раі|>а. (3.67)
Если фв преобразуется под действием SabsSL (2, С}, то комплексно-со-пряженный спинор фв должен для_ согласованности преобразовываться под действием комплексно-сопряженного SAg- и, аналогично, Фа под действием преобразования, обратного Sab. Индексы с точкой сверху используются для обозначения комплексно-сопряженных преобразований. Порядок индексов с точками и без них, очевидно, не существен. Точно так же как из векторов можно построить тензоры, из спиноров с одним индексом можно построить многоиндексные спиноры.
Теперь естественно найти соответствие между векторами пространства Мин-ковского и спинорами. Для этого нам нужны не одноиндексные, а двухиндексные спиноры vA’B , так как должна быть исключена неоднозначность в выборе знака,
возникающая из отображения SL (2, С) на L\. Кроме того, должна существовать возможность связи между длиной вектора в пространстве Минковского (квадратичной по компонентам Vа) и определителем [так же квадратным по записи (2 X 2)-матриц]. Такое отображение задается любой системой спин-тензоров аалв > удовлетворяющей соотношению
a = _ фР<==>* .,omS = - sba. (3.68)
аАВ л В аАВ “
Q A D „
Тогда соответствие между v и v устанавливается из соотношении
¦ Vab^vab =af Vа. (3.69)
AB
Отметим, что в соответствии с принятой сигнатурой метрики пространства-времени представленная здесь формула отличается знаком от формулы, исполь-
37
зуемой Пенроузом (1960). Спин-тензоры обладают свойством эрмитовости
ЯАВ _ „BA mZAB tл 7Лч
eO = ва эва * (3*70)
Пусть дан изотропный вектор. Тогда соответствующий ему спинор должен быть внешним произведением КлПъ, так как матрица и . должна иметь равный
о Дв
нулю определитель и ранг 1. Пусть дана изотропная тетрада (m, т, 1, к) и пара
базисных спиноров оА, Iа, таких, что Oaia=I (диада). Тогда можно выбрать
отображение так, что в ортонормированном базисе, ассоциированном с (т,
т, 1, к) иа основе (3.12), и в спиновом базисе, состоящем нз оА, iA [поэтому оА=(1, 0) и Ia= (0, 1)], получим
-AB
eI
= • ( 0 1 V аАВ_ _>_/О -1 \ А _1_/1 оу
Fivi о/’ 2 У~2 \ і о)’ 3 Угко—і]’
?)•
Тогда
в Л—»—д. к..Л—-Ь .о *4—Ь ,й А—'в .» _Л.
т о і м 1 о , I «--»1 і , ft «—><> о . (3.72)
С помощью (3.68) и (3.69) можно проверить, что это согласуется с нормировкой
(m, т, I, k). В то же время (3.72) можно использовать для определения диады,
приводящей к (3.71).
Изотропные вращения (3.14), (3.15) соответствуют преобразованиям:
о'=о4-Яц i'=H-Bo. (3.73)
В табл. 3.1 приведены некоторые примеры спинорных эквивалентов тензоров, построенных в соответствии с соотношением (3.69). Спинориая форма разбиения (3.44) тензора кривизны получена из спннорного эквивалента тензора Яаьы с помощью равенства
iABCD — 1gABCD + ~\2 ^^ab *вд "t" tAD *Вс)• (3-74)
Причина частого использования спиноров в общей теории относительности заключается в том, что спинорный формализм упрощает некоторые соотношения, содержащие изотропные векторы и бивекторы. Например, в табл. 3.1 показано, что тензор Вейля имеет полностью симметричный спинорный эквивалент Vabcd, в то время как выражения (3.48), (3.49), описывающие соответствующие тензорные симметрии, имеют значительно более сложную форму. Кроме того, в спи-норном исчислении определения (3.59) компонент изотропной тетрады Vo,..
..., V4 принимают симметричный вид:
Ф. =¦ = ^abcdOaO8Oc Id-
(3.75)
ф, = VabcdOaOb Ic Л «Р, = VabcdOa .* tC X0i «Р4 = Vabcd Iа Ib Ic Л
До сих пор мы имели дело только с алгебраическими соотношениями. Ko-вариантные производные тоже имеют свои спинорные эквиваленты:
^AB = -*? Vass . (3.76)
Тождества Бианки (2.81)
4* [«*;.! = 0 0 (3.77)
[Lanezos (1962)], переписанные на спинорный язык, принимают внд:
xABCD — Vc Фдвйр • ^3-78)
38
Таблица 3.1. Примеры спинорных эквивалентов, определенных из (3.69)
Тензор Спинорный эквивалент
Метрика gab - &АВ Vi; tAB из (3-65)
Тензор Леви — Чивиты Sabcd Sc^. s і (6??? _ SD6C8V sZ AWBX kabWX а ° W X
Изотропный вектор Ila iMV
Действительный изотропный вектор Ila = па
Бивектор Xai % + "П\АВ\ = 0= ?[.4а,
Действительней бивектор Fab sAB Ф^- ZW ХФАВ’ Ф[ЛВ] = 0
Дуальный бивектор Fab ' (глдФю- х ~~ В1УХ®АВ>
Комплексный самодуальный бивектор F*ab Vab. Uab, Wab 2фАВ*кх 0A0B^x'' 'AiBzWX'
Тензор кривизны RabCd xABCD V х bYZ *АВ eCDxW XY Z + ^ ^ABYZ ^cd bWX ^ ^ab Z ^WXCD ’ ^ABCD = Х(АВ) (CD) = xCDAB • ^ABCD V) (CD) ^CDA В ~ ^ABCD
Тензор Вейля CabCd С 1abed Бесследовый тензор Риччи Sab ^ABCDtW X eY Z ^ab “ X У Z ’ 21ftABCD XtY Z' ^ABCD = \aBCD) 2ф . . ABWX
Примечание. Индексы а, Ь, с, d соответствуют парам индексов AW, BX, СУ, DZ соответственно.
Для полей в вакууме (Rab=O) в силу соотношения (3.74) эти уравнения приводятся к более простой форме:
