Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
At [I 1. 2] 1(1. 2)] (1 1). 21 (1 1. 2)] S1 — S, 2N](ua) S-3tf](.j, 2S — 2N) (,j) 4^] (j) Чистое излучение и изотропное электромагнитное поле
В [I1 3] 1(1. 3)] [S — ЗЛГ](і,) [4tfJ(,>
В табл. 5.1 дан полный перечень всех возможных типов тензора Риччи пространства-времени в обозначениях Cerpe и Плебаньского. В соответствии с соглашением, установленным в § 3.1, 3.2, мы расположили собственные значения в таком порядке, что те из них, чьи собственные векторы изотропны или времеи-но-подобны (или комплексны), появляются последними. Кроме того, мы использовали запятую для отделения этих значений от собственных значений с пространственно-подобными собственными векторами. Таблица также дает все наиболее важные сведения для возможных физических интерпретаций различных типов; эти вопросы будут обсуждаться в § 5.2. Возможно дальнейшее усовершенствование приведенной здесь классификации (см., например, [Ludwig, Scan-Ian (1971) J).
Можно продолжить этот перечень возможностей с помощью перечисления результатов [Churchill (1932); Hall (1976)]. Ho прежде определим инвариантную
2-плоскость (в любой точке) как двумерное подпространство касательного пространства, которое отображается само на себя тензором Raь\ любой вектор v, лежащий в инвариантной 2-плоскости, отображается тензором Rab в вектор w в той же плоскости.
1. Инвариантная 2-плоскость существует всегда.
Доказательство: Существуют либо два действительных собственных вектора, либо (как минимум) один комплексный собственный вектор. В первом случае два собственных вектора дают требуемую плоскость; во втором случае к той же плоскости приводят мнимая и действительная части собственного вектора.
50
2. 2-плоскость, ортогональная к плоскостям, рассмотренным в п 1 также инвариантна.
Доказательство: Если 2-ллоокость (см. п. 1) временно- или пространственно-подобна, выберем ортонормированный базис с Eh E2, лежащими в этой 2-плоскости. При этом /?“ь приводится к блочно-диагональной форме, что доказывает инвариантность ортогональной 2-плоскости. Если 2-плоскость (см. п. 1) изотропна, выберем к, х так, чтобы эта плоскость была натянута на них. Затем в разложении тензора Rab используем изотропную тетраду (ш, rn, I, k), такую, что ka, kb, k(alb), й(оХь), Ь(аУь), хахь и уауь выражаются только через V 2 In=X-My. В этом случае к, у стягивают другую инвариантную 2-плоскость.
3. Если Rab имеет инвариантную временно-подобную (или пространственноподобную) 2-плоскость, у него есть два различных пространственно-подобных собственных вектора.
Доказательство: Как указывалось в п. 2, пространственно- и временно-подобный случаи одинаковы, и Rab принимает в ортонормированной тетраде блоч-но-диагональную форму. (2 X 2)-Матрицу, действующую на пространственно-подобной 2-плоскости, можно обычным для симметричных матриц способом диа-гонализовать с помощью пространственного вращения.
4. Если Rab имеет инвариантную изотропную плоскость, то у него есть изотропный собственный вектор.
Доказательство: Из доказательства утверждения п. 2 видно, что к — изотропный собственный вектор.
Следуя Холлу [Hall (19?6в)], теперь можно нумеровать случаи, перечисленные в табл. 5.1, выбирая изотропный тетрадный базис и систематически рассматривая сначала случаи, ,когда Rab имеет изотропный собственлый вектор, а затем случаи, когда такого вектора нет. В таблице различные случаи разделены на классы в соответствии с тем, существует или нет временно-подобная (и, следовательно, также пространственно-подобная) инвариантная 2-плоскость. Имеют место следующие различные типы:
А: Временно-подобная инвариантная 2-плоскость
Al: В этой плоскости существуют два действительных ортогональных собственных вектора.
/42: В этой плоскости не существует действительных собственных векторов.
АЗ: В этой плоскости существует один двойной изотропный действительный собственный вектор.
В: Изотропная инвариантная 2-плоскость: существует один тройной изотропный действительный собственный вектор.
В каждом случае Rab можно преобразовать в канонической форме. Так как классы /42 и Д не имеют физической интерпретации, что является следствием нарушения ими энергетических условий (см. § 5.3), приведем канонические формы только для Al и АЗ:
A I :Rab~ У*\ХаХЬ-\ 'Ь,'±УаУъ \ ^sZaZb—KfUaUb', (5.За).
АЗ:Ra Jj=iXiXaXb' { Х2УаУЬ—2Xsk{alb)-\-kakb. (5.36).
Здесь (х, у, Z1 и) — ортонормированная тетрада, а ((х + iy)/V2, (х-НУ)/^ 2, k, 1)—комплексная изотропная тетрада. В каждом случае ассоциированная ортонормированная тетрада называется главной тетрадой Риччи.
Типы Тензора Риччи называются вырожденными, когда существует более одного элементарного делителя с одинаковыми собственными значениями; в обозначениях Cerpe такое вырождение , указывается круглыми скобками (см. табл. 5.1).
Если тензор Риччи невырожденный и элементарные делители простые, то тип называется алгебраически общим. В противном случае он называется алгебраически специальным. Эти понятия аналогичны используемым для типов по Петрову (см. гл. 4). Как мы увидим в следующем параграфе, физически наиболее важные типы являются алгебраически специальными.
