Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(3.79)
Производные по направлению вдоль изотропной тетрады (гп, ш, 1, к) обозначаются символами:
?> = feaVa= —оао'вчав, AsZaVa= — '^V.b-
AB
(3.80)
39
SOffa= - Ofll . »аяй=-1 I “ .
cM^fWitten (1959); Jordan (1960); Pirani (1965); Ponrose (1968); Schmut-
zer (1968)].
3.7. Конформные преобразования
Специальный тип отображений метрических пространств задается с помощью растяжений (или сжатий) всех длин с помощью общего множителя, изменяющегося от точки к точке:
л 2U ^ab —2U Qb
gab=е gab> g =е g I U = U(X). (3.81)
Коэффициенты связности и ковариантная производная 1-формы а преоб-
разуются к виду
^ab = Tcab + 2SUaU, ЬУ- SatU- е\ (3.82)
Vae6=Voe6 — U, Ьяв— и, cPb + gabU'e<>e> ^a = Oa-
Тензоры кривизны двух пространств с метриками gab и ^ab связаны соотношениями
Є2 Vafc = Pdabc+ 4У[%1;
(3.83)
Yab^U:ab-U-aU,b + -Tdp,eU'e,
выполняющимися в я-мерных римановых пространствах Pn и Kn.
Из (3.83) следует уравнение
Rab — Rgb + (2 п) Yab gabYce> (3.84)
связывающее тензоры Риччи пространств 9п и Vn. В случае трех измерений
это уравнение принимает форму
K9 = *«э-'U «; 9+ и, JJ. 9-ga9(U] ] + U1JJ''). (3.85)
Применение формулы (3.84) в пространстве Vt Дает
dl' = e2U(dx2 + dy2): Hab= KSab; К= - e~MUt А А. (3.86)
Пространство называется конформно-плоским, если его можно связать с плоским пространством конформным преобразованием (3.81). Пространство Vt всегда конформно-плоское. Простаиство является конформно-плоским в том и только том случае, если тензор Коттона — Иорка
С“*> a 2eaTS ^ j ^ (3.87)
обращается в нуль. Пространство Vn, я>3, конформно-плоское в том и только том случае, когда конформный тензор
Cabcd = Rabcd + (г; 1) (д - 2) ^ (gacgbd gadgbc)
— (п — 2) (gae^bd — SbeRad + gbd^ae ~ gadgbc) (3.88)
[для Vi ср. с (3.50)] исчезает. Компоненты конформного тензора Caьы оста-
ются неизменными прн действии (3.81).
40
Частный случай преобразования (3.81) t/=const дает новое (тривиальное) решение уравнений Эйнштейна (1.1), если оно применяется к уже известному решению [см. (3.84)]. Следовательно, все приводимые в дальнейшем точные решения могут быть умножены на неопределенную константу кг=еги. Во многих случаях, когда метрика может «поглощать» это изменение за счет переопределения координат и постоянных параметров, такого рода множители заведомо допустимы. В некоторых случаях однопараметрическое семейство метрик, генерируемое варьированием к, содержит только изометричные друг другу метрики; это имеет место, когда пространство-время допускает (нетривиальные) гомотетии (см. гл. 8 и § 31.4). Когда не выполняется ни одно из этих условий, мы будем писать неопределенный постоянный множитель в явном виде перед всеми метриками, приводимыми ниже.
Cm.: [Eisenhart (1949); Jordan е. а. (1960); Szekeres (1963); Debever (1966)].
Глава 4
Классификация Петрова
4.1. Задача на собственные значения
Представляет интерес исследование инвариантных характеристик гравитационного поля, не зависящих от выбора каких-либо систем координат. С этой целью мы рассмотрим алгебраическую структуру тензоров Cabed и Еаьсл, введенных в (3.44)—(3.46). Классификация тензора S„b, эквивалентная классификации тензора Eabcdt будет обсуждаться в гл. 5. Здесь мы рассмотрим только классификацию тензора Вейля Cabcd (классификацию Петрова).
Исходной точкой являются уравнения для собственных значений
2 CabedXct^ = ^Xab (4.1)
с собственными бивекторами и собственными значениями Я. С каждым решением (Хаь, Я) этого уравнения для собственных значений ассоциируется его комплексно-сопряженное решение (Xab, Jt). He уменьшая общности, можно переписать уравнение (4.1) в виде
4 C\bcdX*c* = \Х*аЬ. (4.2)
Отметим, ЧТО аналогичное уравнение С тензором Eabcd вместо Cabcd было бы несовместным в силу свойства (3.54).
Умножая уравнение для собственных значений (4.2) на единичный временноподобный вектор Ua и принимая во внимание определения (3.36), (3.62) и выражения (3.37), (3.63), приводим задачу на собственные значения к простой форме
QabXb=XXa, (4.3)
которая полностью эквивалентна исходной формулировке. В трехмерных векторных обозначениях, введенных в (3.64), можно записать
Qr=7.r. (4.4)
Мы должны определить собственные векторы г и собственные значения X симметричной и бесследовой комплексной (З X 3)-матрицы Q. От четырехмерного лоренцева репера мы переходим к трехмерному комплексному пространству с евклидовой метрикой.
Группа SO (3, С) собственных ортогональных преобразований в комплексном 3-пространстве изоморфна группе собственных ортохронных лоренцевых
41
преобразований. Трансформационные матрицы этих двух групп SO(3, С): Xv = Л* Xu, А*,А\ = д*;
(4.5)
• X0IbI = Л-а'Л-b'-Xcd' Л-с'^Ь ~
связаны формулой
aP = Л3'Л4 - K1+ ІЄ“т8ЛЄ'Л4- (4.6)
следующей из (3.38); каждое лоренцево преобразование индуцирует единственное ортогональное преобразование в комплексном 3-простраистве. Этот изоморфизм в явном виде проверен в работе [Synge (1964)].
