Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Изотропное электромагнитное поле и соответствующий тензор энергии-импульса .(5.7) можно преобразовать к виду
F*ab — 2фг\'аЬ = 4фгй[а/Я(,]; (5.16)
7'ab = ФФ2 = 2Ф2Ф2. (5.17)
Очевидно, что соответствующий тензор Риччи относится к типу [{11,2)], с равным нулю собственным значением.
2. Тензор^ энергии-импульса (5.8) поля чистого излучения имеет тот же алгебраический тип, что и (5.17). Однако поле чистого излучения не обязательно удовлетворяет уравнениям Максвелла. Для любого частного решения с Tab=Gftkakb нужно проверять, соответствует ли оно изотропному электромагнитному полю, удовлетворяющему уравнениям Максвелла (без источников).
Рассматриваемый тензор энергии-импульса имеет место и для других типов направленного безмассового излучения, например для безмассовых скалярных полей, нейтринных полей или (высокочастотных) гравитационных волн. Можно считать, что этот теизор описывает иекогерентную суперпозицию волн со случайными фазой и поляризацией, но с одинаковым направлением распространения; иными словами, как и в случае интерпретации изотропного электромагнитного поля, необходимо убедиться, что исследуемое поле на самом деле удовлетворяет уравнениям, описывающим это физическое явление.
3. Тензор эиергии-импульса идеальной жидкости (5.9) имеет алгебраический тип [(111),1]; три собственных значения совпадают. Для пыли (р=0) тройное собственное значение тензора Tab равно нулю, а собственные значения тензора Rab имеют вид iX,i=X2=Xs=—Л4=ИоЦ/2. Мы намерены дать все известные решения с пылью и, как минимум, привести ссылки на все известные решения с идеальной жидкостью.
4. Тензор энергии-импульса Л-членного типа, очевидно, относится к алгебраическому типу [(111,1)].
Тензоры энергии-импульса (5.7)—(5.9) (и ассоциированные тензоры Риччи) имеют' очень простые алгебраические типы, а именно Г(11) (1,1)]. [(11,2)] и [(111),1]-
Cm.: i[Wooley (1973а); Goodinson (1969); Singh, Roy (1972)].
5.3. Энергетические условия
Имеющий физический смысл теизов энергии-импульса должен удовлетворять доминантным энергетическим условиям: локальная плотность энергии, измеренная любым наблюдателем с 4-скоростью и, не отрицательна, и локальный вектор потока энергии q не пространствеино-подобен:
TabUaUb^sO; (15.18а)
<7°<7а<0; qa = Taьиь. (15.186)
Обсуждение энергетических условий см. в кииге [Hawking, Ellis (1973)]. Доминантные энергетические условия (5.18) должны выполняться для всех вре-менно-подобных (единичных) векторов и из соображений непрерывности эти неравенства должны оставаться верными при замене и на изотропный вектор к.
54
Для типа [111,1] (и его вырождений) Таъ можно диагонализировать: Таь= =diag (ри р2, Pz, |х). Тогда (5.18) будут удовлетворены, если
H-Ss0; -H-H- («= 1,2,3). (5.19)
Эти неравенства выполняются для неизотропного электромагнитного поля [см.
(5.13)] и налагают разумные ограничения на плотность энергии ц и давление P (Р=Рі=Р2==Рз) идеальной жидкости. Доминантные энергетические условия (5.18) также удовлетворяются для тензоров энергии-импульса полей чистого излучения и изотропных электромагнитных полей.
Типы [11, Zz] и [1,3] (и их вырождения) из табл. 5.1 нарушают даже слабое энергетическое условие (5.18а). Поэтому <эни не представляют физического интереса.
5.4. Условия Райнича
Локально гравитационное поле порождается неизотропным электромагнитным полем (вне вещества и зарядов) тогда и только тогда, когда метрика пространства-времени и ее производные удовлетворяют условиям Райнича [Rainich (1925); Misner и Wheeler (1957)]: алгебраическая часть
RabRbC =s°cRbdRbd±o;
(5.20)
R ~ Raa = 0; иаиа < 0 => Rabuaub > 0; аналитическая часть
аа, b аЬ ¦ а = 0» ао - (RnJTn) -1 LabCdRbeRed'с. (5.21)
Говорят, что такое пространство-время обладает геометрией Райнича. Дадим краткое описание «исконно единой теории» Райнича.
Прежде всего найдем так называемое экстремальное поле fab, удовлетворяющее условиям:
fUhFb=0; fabfab <0; Tai ^ 4 Zabcdfcd- (5.22)
Затем из fab с помощью дуального поворота получим решение уравнений
Максвелла:
Fab=fab COS Ct—fab Sin CtJ
(5.23)
Fab=fab Sin Cl—{-Jab COS Cl,
имеющее место в каждой точке р пространства V«.
Самосогласованная система уравнений Эйнштейна — Максвелла (вне распределения заряда и тока) имеет вид:
Rab = Цг {FacFbC + FacFbc)^=* Rab = "у Uacfbc + ТасШ (5.24)
И
Ffb = 0 = 7? ?==* f?„ - «. Ь~Ґ = 0 =Ifb + ьґ- (5.25)
Уравнения Эйнштейна (5.24) можно переписать в форме
х0 ~ ~
^abcd = 2 (fabfcd “Ь fabfcd)»
t (5.26)
^abcd = —2 iMac^bd Sbc^ad Bbd^ac Bcd^bc) •
55
Из (5.26) вместе с (5.22) следует формула
2 fabfcd= 2 ^abcd 2~ (RrmRnn) '^Eabef ^cd » (5.27)
которая дает возможность найти (с точностью до знака) fab, обеспечивающего выполнение условия (5.20). Явное определение /0ь наиболее легко получить в тетрадной системе, в которой Rba имеет диагональную форму:
R°a=diag(X, к,—V-A), >->0, (5.28)
в согласии с алгебраическими условиями Райнича (5.20),
В качестве следующего шага определим скалярное' поле а в формуле для дуального поворота (5.23) так, чтобы Fab было решением уравнений Максвелла
