Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
со = е-шсо; 0= е-2У(в + k“u, а). (6.21)
Инвариантная классификация векторных полей важна для проблемы точных решений по двум причинам. Во-первых, если решение определяет преимущественное векторное поле (поле скорости, поле собственного вектора тензора Вейля,...), то классификация векторного поля одновременно является классификацией исследуемого решения. Во-вторых, существование векторного поля с некоторыми специальными свойствами (бессдвиговое, иевращающееся,...) вносит дополнительные ограничения на метрику из-за соотношения
2яа. ((,; — QdR^abc- (6.22)
Мы будем подробно обсуждать эти вопросы в следующем параграфе.
6.2. Векторные поля и тензор кривизны
6.2.1. Временно-подобные единичные векторные поля
Основной идеей этого параграфа является представление тождества Риччи (2.78)
“а; Ь: с - “а: г; Ь = &аЬМ (6.23)
на основе разложения (6.13)
иа. ь = — UaUb + соа() + sab + Bhab/3. • (6.24)
Кроме того, мы хотим посмотреть, какие ограничения на метрику (тензор кривизны) следуют из существования векторного поля и со специальными свой-
ствами его производных.
Нетрудно получить более подробную запись формулы (6.23):
2 ^abcud = Ua (Щс ~ aIbUcj) Ua. JfMj,! + CO0 |?. fj -f- Oa |j. f| +
і в Г eI
+— ®, (Al a + — I аашЬс — Ua UIbUc] + COa Ictt6] + Ua IcUbJ + — Aa IcUbJ .
(6.25)
60
Свертывая это выражение по двум индексам и. (или) умножая его на иьг получаем:
2
RabUa = и%>аЬ —u°. Jtb — UuOob + Oiu6. 0 + заь. а — -3- 0, ь +
+-у-Чл + -J- (ч“Л + виб); (6-26>
/в 02 \
abcUdUb = UaUc- WabWbc g I ^ca ааЬа^с
2
--3" ®°ас + hdahec (u{d.e) — <,de); (6.27)
RabUaUb = й°. о + ^afcOaft — 3a'bsab — в— в*/3. (6.28>
Уравнение (6.28) часто называют уравнением Райчаудури [Raychaudhuri (1955)].
Формулы (6.26)—(6.28) можно рассматривать как уравнения, управляющие изменением ВО времени величин Ua, Oab и 9. Однако в связи с точными решениями, если свойства векторного поля предписаны заранее или известны, мы предпочитаем интерпретировать их как уравнения, определяющие некоторые компоненты тензора кривизны. Аналог (6.25)—(6.28) для самодуального тензора Вейля С*abed можно получить при использовании определения (3.50) и предыдущих уравнений. Результат имеет вид:
.2
C*abcdUaU? = UbUcI ^bc^d ®bca°d 3 &abd Ч- heb^d [и(е; f) ае[] —
3 ^bd (а°; а “1“ toOeu0a aOegae) “Ь ~2~ heb^dRe!
- 4“ hbdhefRef + ie ы uch$ [— iigWgf -f Wge. f+OgeifY. (6.29)
Наиболее замечательным свойством этой формулы является простота мнимой части теизора Qob =—C*CabdU'ud. Как показано в гл. 4, классификация
Петрова является классификацией тензора Qab, и если Qab действителен, то
пространство-время относится к типам по Петрову I, D или 0.
Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 6.1. Если пространство-время допускает временно-подобное единичное векторное поле и, удовлетворяющее условию
tfbe d)f<PC !tV: f + V: S— jWl = °- (6'30>
то оно относится к типам I, D или О по Петрову.
Простыми примерами векторных полей, удовлетворяющих условию (6.30) ^ ЯВЛЯЮТСЯ бессдвиговые И нормальные векторные ПОЛЯ ((Oab=O-Uab). Для статических метрик, характерной особенностью которых является существование временно-подобного невращающегося вектора Киллинга векторное поле U=
= |/V—SoS0 в силу уравнения Киллинга (6.10) удовлетворяет соотношению иа,ь=—UaUb. Отсюда следует, что все статические метрики относятся к типам
I, D или 0.
Жесткие движения (пробного) тела описываются векторными полями, удовлетворяющими условиям в=0=ааь, т. е. ??и Iiab=O. Пространства Эйнштейна, допускающие жесткие движения, являются либо плоскими, либо пространствами постоянной кривизны, либо пространствами с вырожденными статическими метриками класса В [Wahlquist, Estabrook (1966)].
Если тензор энергии-импульса задан, то уравнения (6.25)—(6.30) вместе с тождествами Вианки можно использовать для доказательства теорем о точных решениях.
61
6.2.2. Изотропные векторные поля
Процедуру, аналогичную проделанной в § 6.2.1 для временно-подобных векторных полей, можно повторить для соотношения
ka\b'tc—^e;c;fr—(6.31)
Лучше всего это делать на языке формализма Ньюмена — Пенроуза, который мы опишем ниже. Здесь упомянем только один вывод, который можно получить без уточнения тетрады (ш, ш, k, I): нз (6.31) и (6.16) имеем (для геодезических изотропных векторных полей)
Єіа^_ш’ + Є* + 07= Rabkakb (6.32)
и, используя (6.18), перепишем это выражение в форме
(в + ico), а ka + (в + Ico)= + „Г= - 4* RabPkb. (6.33)
Cm.: [Debever, Cahen (1961); Triimper (1965); Takeno, Kitamura (1968); Glass (1975); Neugebauer, Sust (1975)].
Глава 7
Формализм Ньюмена — Пенроуза
7.1. Спиновые коэффициенты и уравнения поля
Формализм изотропной тетрады, разработанный Ньюменом и Пеироузом
(1962), оказался очень полезным при конструировании точных решений и других исследованиях. В частности, им удобно пользоваться при изучении алгебраически специальных гравитационных полей (см., например, [Kinnersley (1969); Lind
