Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(1974); Talbot (1969)J. Простые приложения, полезные для начинающих, рассмотрены Девисом [Davis (1976)]. Кемпбелл и Уэйирайт [Campbell, Wainwright (1977)], используя формализм Ньюмеиа — Пенроуза, составили программу для ЭВМ, предназначенную для эффективного вычисления тензора кривизны.
Мы дадим здесь схему этого важного подхода к общей теории относительности.
Используя комплексную изотропную тетраду {ee}= (m, m, I, к) и повторяя
определение коэффициентов связности Гсв» (2.65)
У»Єа=Г«абЄе, (7.1)
мы можем определить так называемые спиновые коэффициенты —12 независимых комплексных линейных комбинаций коэффициентов связности. В явном виде спиновые коэффициенты в тензорных и спинорных обозначениях определяются следующим образом:
-XS Г,44 = ka. „rrfikb = OfrO6 OcVAh 0С\ (7.2)
— P = T142 = fea; bmamb= IaIsOcV^oc; (7.3)
- a s T111 = ka. bmamb = oA~B ocvAb oc; (7.4)
-<* Ш Г,4, = ka. bma Ib = 1А~ЬосчаЪос I (7.5)
v ^ гг„ = ia. bma Ib = - И7* fvAk tc; (7.6)
H- ^ Г,„ = Im^mb = - OaTb tcVi4i ‘C; (7.7)
62
I. Гг„ = Ia. bmamb = - И O6 fivAb «с; (7.8)
я а Гг34 = Ia. ^kb= - оА~о'в tCVаЪ ,с; (7.9)
— « = 4" (Гз« — Г114) = ~y (ka. blakb — та. b makb) =
= 0*0*. cV^oc; (7.10),
— З = -у (Г««і — Г!і і) — 4" (ka; Ь1“тЬ — ma; б"*0™6) =
= 0^7® '0VA-B oc; (7.H>
I - 4" (r«“ - r>«> = 4- ft*4* - bm°lb) = -OcVylB lc; <7'12>
“ = 4" 2 “r*“) = 4" bka^b ~ m«; bma~™b) = — ll4O8o0Vj4B 1C- (7-13>
Некоторые из этих спиновых коэффициентов уже были введены в (6.19). Из выражений для спиновых коэффициентов в спинорной форме и из соотношения
°А И = 1 =» .cVylB Oc = OcVylb 1С (7.14)
следует, что все коэффициенты связности можно выразить через 12 комплексных спиновых коэффициентов (7.2)—(7.13). Очень удобно работать с формами связности
Г14 ^ m?kbTabca>c = — о®1 — Р“2 — — *<о4;
Г„ = TrftIbTabJbc — (AM1 + i-“2 + v<0’ + jtto4I (7.15)
4" (гі2 + Г„) = 4- (mamb + lakb) Tabco)c = — p<o! — ao>2 - Yo>3 _ «о*.
Записанное через эти комбинации второе уравнение Картана имеет специальную форму (3.23). Подставим в правую часть уравнений (3.23) разложение тензора кривизны (3.44), используя следующие сокращения для тетрадных компонент бесследового тензора Риччи (Sab^Rab—gabRI4) и тензора Вейля:
ф00 ^ 4" S“bkakb = ФАВ сі/о^о с~о6 = Фо„ = 4- (7-16)
ф01 S4* S4bka/nb = Ф . .Oi4OsOc I 6 = ?,0 = 4" Л41; (7.17)
z ABCD -4
Фоа s ~2~ SQfffnaJn^ = фО 1 t = ф20 — 2 ^n* (7*18}
Фп^ 4" Sab(kal» + т*ть) = Флвсб0А Р~оС T6 = фп = (?, + *.,)/4; (7.19)
Ф12-4- s^l0mb = ФавсЬ°АlB~d~° = ^ = 4- R>'; (7'20>
фа2 а 4- SabWb = флв t6 S ,flT cT6 =- Ф22 = ~ Ri3; (7.21)
Ф, = Cabcdkambkcmd = VabcdOaObOcOd ; (7.22)
63
V1 S Cabcdka Ib kcmd = 1PabCDOa Ob oc i°; (7.23)
= 4“ CabcdIe Ib (kc Id — mcmd) = Vj4bco Oa ob Ic 1°; (7.24)
V, s Co6ed/0 fe* /fmd = Vi4sco ол t8 ,c ; (7.25)
*4 = CabcdIaHib Iе md = Vj4bco i* Ifl ,c P ; (7.26)
Определения (7.22)-(7.26) согласуются с (3.59), (3.75).
В левой части уравнений (3.23) вычислим внешние производные <Я\»6 и, ис-лользуя обозначения (3.80) для производных по направлениям
DsfeaVa= — OfirOe V4ij; Is /0Va = — ‘А~в Vylfe >
(7.27)
« 3 ZncVa = — 0А~в Vi4fe; rn°Va = — ^os Vi4fe . приходим к уравнениям Ньюмена — Пенроуза:
Df-9х = (рг + оо) +“(* + в) р — х т — х (За + (1 — я) + ф40; (7.28)
Da — Зх= (р + р) о + (Зе — е) о — (х —я + а + ЭД х + V4; (7.29)
Z>t — Дх = (х + я) р + (г + я) о + (е — е) X — (3y + Y) х + + Ф»і; (7.30)
Da — Se = (р + є — 2е) a + pa — ре — х\ — X^ + (е + р) я + ф1#; (7.31)
/?- Зе = (а+ я) о + (р — є) % — ((I. + y) X— (а — я) е + V,; (7.32)
Dy — Де = (х — я) a + (х + я) & — (є + е) Y — (y + Y) е + — Vx +
+ ^ + Ф..--^-; (7.33)
Dl—dn= (рХ + op.) + яг + (a — (j) я — vx — (Зе — є) I + Ф„; (7.34)
— 9я = (р(х + оХ) + яя— (е + е) (j. — я (а — (j) — vx + V* + R/12; (7.35)
Dv — Дя= (я + х) {*. + (я + х) I + (y — Y) ” — (Зе + е) v + V, + Ф„; (7.36) ДХ _ Jv =-([». +? X - (3y -y) I + (За +1 + * - *) V - (7.37)
Зр — «О = р (a + g)~o (За— ?) + (р — Р)х+ (J». — (і) X—V1 +фС1; (7.38)
За — Ц= (ftp — la) + аа + gf— 2ар + y (р — р) + е ((1. — |к) —
-«', + Фп + ^Р (7-39)
Ы — ?(1. = (р — р) V + ((X— й « + (* (а + Р) + X (a — 3g) — V, + Ф„; (7.40) Jv — Д(і. = ({i.2 + II) + (y + Y) р. — УЯ + (х — 33 — а) V + Фгг; (7.41) «Y — Д0 = (х — а — Р) Y + }М — OV — ev — J (y — Y — t*.)+«X + ф„; (7.42)
Jx — До = ((to + Xp) + (х + Jl — а) х — (3Y — Y) 0 — XV + Фм! (7.43)
Др —Jt= — (Й».+ оХ) + (?- а — х) х + (y + y) P + VX-V1-Я/12; (7.44)
Да — Jy = (р + *) V — (х + 0) X + (f — (»•) a + (J — х) Y — *Р». (7.45)
Система уравнений (7.28)—(7.45) в точности эквивалентна формуле (2.79)
для компонент тензора кривизны Рнмана, если базисом является комплексная
64
изотропная тетрада (m, m, 1, к): уравнения Ньюмена — Пенроуза — соответствующие линейные комбинации уравнений (2.79) при явной залиси операции суммирования. Это удобно для практических приложений формализма.
Определения величин {е0}, Va, Гяьс и RaьCd совпадают с использованными в оригинальной статье [Newman, Penrose (1962)]. Всякий раз при использовании метрики для перемещения индексов следует помнить об изменении сигнатуры (соглашение о знаке см. в работе [Ernst (1978)].
