Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
У группы G2 есть только один (нетривиальный) коммутатор; следовательно, все G2 разрешимы. Если группа G2 абелева, то она называется группой типа G2. Если же она неабелева, то можно выбрать §, в производной алгебре и масштаб |г так, что
Bi. Ь]=5і. (8-12)
Этот случай называется группой типа G2 II.
73
Перечисление структур группы G3 восходит к работам Биаики (1897). Существует девять типов от І до IX по классификации Бианки, два из которых VI и VII являются однопараметрическими семействами различных групповых структур. Комплексные преобразования связывают тип VIII с типом IX, а тип
VI с типом VII. В методике Бианки, как выше для G2, все начиналось с рассмотрения размерности производной алгебры. Мы, однако, будем рассматривать эту проблему иным способом [Estabrook е. а. (1968); Elllis, MacCallum (1969)]. Возьмем на алгебре Ли любой полностью антисимметричный тензор еАВС и запишем
— Cdbc Zbce = Nde + ZdekAk-, Cbb-, Nbc = N™ . (8.13)
Тогда тождества Якоби (8.7) приводятся к виду
NbeAe-O- (8.14)
Величины Nac (из-за елвс) определены с точностью до общего множителя. Их инвариантные свойства характеризуются рангом и модулем их сигнатуры. В типах VI и VII сущёствует еще один инвариант h, определяемый соотношением
(\—К)С^ВАСЕсЕ=—2кСАЕвСЕ ас (8.15)
и обеспечивающий один параметр, необходимый для подразделения типов Бианки VI (Л^О) и VII (Л3®0). Этот инвариант связан с параметром Бианки q для
типов VI и VII формулами A=—(1—f-g)2/(I—<q)2 и h=qV(A—q2) соответственно;
III тип Бианки при A=—1 совпадает с VI типом.
Имеются два основных класса групп G3: класс GsA (Ля=0) и класс G3S (Л?=?У)). Во всех случаях с помощью поворотов и изменения масштаба базнса можно добиться, чтобы NBB=diag(Nt, Nj, Na); As= (А, 0, 0), где Ni, N2, Ns, если необходимо, могут быть равны либо 0, либо ±1» a A=VhNjit (для III, VI, VII типов Бианки). На основе Этого анализа построена табл. 8.1, в которой перечислены все типы и канонические формы структурных констант. Все типы разрешимы, кроме VIII и IX, которые являются полупростыми. Каноническая форма не определяет базис единственным образом. В табл. 8.1 указана размерность подгруппы линейных преобразований, сохраняющих каноническую форму (доказательство см. в работе [Siklos (1976b)J).
Таблица 8.1. Перечисление канонических структурных констант для различных типов Бианки
Класс QtA GtB
Тит 1 II VI0 VII, VIII IX V IV IlI VI* vllA
Ранг (№Е) О 1 2 2 3 3 о 1 2 2 2
Сигнатура (Nde) А Nt Ni Nt О о о о о 1 0 1 о о О О 0 —1 1 2 О 0 1 1 1 0 —1 1 1 3 0 1 1 1 0 1 о о о 1 1 о 0 1 0 1 0 —1 1 О V~h 0 —1 1 2 Vh 0 1 1
Размерность свободы канонического базиса 9 6 4 4 3 3 6 4 4 (Каждое h< 0) 4 (Каждое А>0) 4
Группу G4 можно разделить на два класса в зависимости от того, выполняется условие Аеш*С*лв12=0 или иет. В первом случае имеет место теорема [Furnsworth, Kerr (1966)].
74
Теорема 8.4. Если Ае=0, то либо (Л) структурные константы группы G4 можно записать в форме
c^=eW <8Л6>
либо (В) если никакой формы вида (8.16) не существует, то имеется не равный нулю вектор La, такой, что
CabcLb=O. (8.17)
Доказательство. Возьмем любой, не равный нулю полностью антисимметричный тензор с компонентами еabcd -j-aK как антисимметризация по пяти индексам автоматически дает нуль, то
«I““C*]fiCC*DB = 0. (8.18)
Разлагая (8.18) и используя тождества Якоби, эквивалентные ^abceqmвсСкем=0, получаем
ebcdeCabcckdjs=о (819)
Рассматривая САвс как компоненты 2-формы Ca над алгеброй Ли, (8.19) можно переписать в виде
C4 д Cb=O. (8.20)
При A=B из теоремы 2.4 следует, что Ca— простая форма, а при АфВ, что 2-плоскости, натянутые на эти бивекторы, должны пересекаться. Если все четыре Ca пересекаются (т. е. имеют общий множитель, представляющий собой 1-форму), то мы получим случай (Л). Если же три из них не имеют общих пересечений, то на них может быть натянуто 3-пространство, в котором должна
лежать четвертая форма СА, и таким образом мы получим вектор La, удовлетворяющий условию (В). Как следствие этой теоремы возникает теорема 8.5.
Теорема 8.5 [Egorov, Petrov (1966), с. 180]. Каждая группа Gi содержит G5 (локально).
Доказательство. Если АЕФ0 то (8.19) дает АвСвсе=0, откуда видно, что (максимальная) размерность производной алгебры равна трем. При Ae=O формы (8.16), (8.17) ясно показывают, что максимальная размерность производной алгебры снова равна трем. Во всех случаях производная алгебра (если нужно вместе с достаточным, для того чтобы размерность стала равна трем, количеством линейно независимых векторов) генерирует G3.
Доказательство, несколько отличающееся от приведенного, было найдено Кантовским (см. [Collins (1977)]). Доказательство, которым пользовался Егоров, нам неизвестно. Патера и Винтеркиц нашли явную форму всех подгрупп G2 и G3 действительной группы G4. ,
Приведем еще один результат, получаемый Егоровым (см. [Petrov, (1966), с. 180]:
Теорема 8.6. Каждая группа Gs содержит подгруппу G4.
8.3. Группы преобразований
