Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из теоремы 8.16 следует специальный случай явления, известного как ортогональная транзитивность. Ои имеет место, когда орбиты группы движений являются подмногообразиями пространства Ул, имеющего ортогональные поверхности. Важные физические примеры возникают в статических и в стационарных аксиально-симметричных пространствах-временах. Шмидт доказал еще несколько теорем на эту тему, включая следующую:
Теорема 8.18 ([Schmidt (1967)]. Если группа движений Gr с r=r-^d{d-(-1)
параметрами имеет орбиты размерности d(d>\), то орбиты допускают ортогональные поверхности.
Часть II
РЕШЕНИЯ G ГРУППАМИ ДВИЖЕНИИ
Глава 9
Классификация решений с изометриями
9.1. Случаи, подлежащие обсуждению
При определении свойств симметрии метрики нужно установить размерность максимальной группы движений, ее алгебраическую структуру, а также природу и размерность ее орбит. Будем, как и в § 8.4, использовать следующие обозначения: символы S, TnN будут обозначать пространственно-подобные, временно-подобные и изотропные орбиты соответственно и будут следовать за индексами, указывающими размерность. Если группа транзитивна на всем многообразии V4, то пространство-время будет называться однородным. Если группа транзитивна на S3, T3 или Na, то пространство-время будет называться однородным на гиперповерхности (или соответственно пространственно-однородным, однородным по времени и изотропно-однородным).
Оказывается если орбиты изотропны, то построение метрики и понимание ее свойств достигается методами, отличными от используемых при неизотропных орбитах. Поэтому мы сначала обсудим неизотропные орбиты (см. гл. 10—20), а затем изотропные (см. гл. 21). Внутри этих широких подразделений мы будем проводить анализ в порядке уменьшения размерностей орбит. Нам встретятся и более мелкие подразделения, так как группа может быть кратно- или просто-транзитивной на своих орбитах. Сначала мы будем рассматривать (кратно-транзитивные) группы более высокой размерности. Однако часто случается, что кратно-транзитивная группа содержит подгруппу, просто-транзитивную на некоторых орбитах, и в этом случае может оказаться выгодным использование именно просто-транзитивной подгруппы.
Все эти подразделения дают довольно длинный перечень различных возможных структур. При поиске точных решений будем, насколько это возможно, стремиться к объединению этих структур. В каждом отдельном случае будем сначала обсуждать вид метрики и только потом подставлять ее в уравнение Эйнштейна. Как обычно, в основном будут рассматриваться тензоры энергии-импульса электромагнитного поля, идеальной жидкости, тензор энергии-импульса поля чистого излучения и вакуум.
86
Даже краткий просмотр литературы показывает, что некоторые типы симметрий пространства-времени привлекают намного больше внимания, чем остальные. Это объясняется либо их физической важностью, либо математической простотой и привлекательностью. В связи с этим такого рода специальным случаям будут посвящены отдельные главы, следующие за соответствующими главами более общего характера.
Особое осложнение связано с тем, что максимальная группа движений пространства-времени может содержать значительное число неэквивалентных подгрупп. Поэтому метрика может быть исследована заново как специальный случай пространства-време-ни, инвариантного по отношению к действию одной из таких подгрупп, причем часто в форме, трудной для распознавания. Мы будем стараться указывать на такие возможности.
Очевидно, что для тензора энергии-импульса идеальной жидкости величины, входящие в (5.9), имеют ту же самую симметрию, что и метрика. Однако аналогичный вывод для полей Эйнштейна — Максвелла неверен. Взамен имеем:
Теорема 9.1. Если поле Эйнштейна — Максвелла в пространстве без источников допускает киллингово векторное поле то
ZiFab = CFab, (9.1)
где С — постоянная для неизотропного электромагнитного поля, и С 1а&Ь]=0 для изотропного поля с кратным главным изотропным
направлением к.
Доказательство этой теоремы для неизотропных полей [Ray, Thompson (1975)] основано на информации, предоставляемой формализмом Райнича (см. § 5.4): эстремальное поле /аь и градиент фазы аа определяются метрикой; следовательно, Xjab = а—О и (5.23) тогда приводит к (9.1). Доказательство для изотропных полей дал Колл [Coll (1975а)}.
Метрика (10.21) и специальные плоские волны (см. § 21.5) дают нам примеры, в которых поле Максвелла не обладает той же симметрией, что и метрика [C=^=O в (9.1)]. Cm. также [Hoen-selaers (19786); Flaclas, Cahen (1978)].
Петров (1966) с коллегами были первыми, осуществившими систематический анализ метрик с изометриями. Поэтому в следующих главах мы будем воспроизводить многие из результатов Петрова.
9.2. Изотропия и тензор кривизны
В соответствии с замечаниями, высказанными в § 8.4, видно, что если пространство-время допускает группу движений Gr, транзитивную на орбитах размерности d(<r), то каждая точка имеет группу изотропии размерности г—d [см. уравнение (8.22)], которая должна быть изоморфна подгруппе группы Лоренца.
