Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пространства-времена с такой изотропией исследовали особенно интенсивно. Название локально изотропный было введено для тех случаев, в которых каждая точка р имеет нетривиальную группу изотропии [Cahen, Defris (1968)]; когда эта группа состоит из пространственных вращений, пространство-время называется локально вращательно-симметричным [Ellis (1967)]. В этом параграфе приведено несколько общих замечаний по поводу возможных случаев. Можно показать, что локальная изотропия тензора Римана и его первых производных является достаточным условием для обеспечения существования группы движений [Ellis (1967); Cahen, Defrise (1968); Siklos (1976b)]. Такая группа несомненно должна быть непрерывной (так как каждая точка в некоторой окрестности имеет подгруппу изотропии как минимум с одним параметром) и представлять собой, по крайней мере, G3. (действующую иа 2-поверхностях).
Шмидт [Schmidt (1968)] рассчитал все возможные алгебры Ли групп изометрий, действующих транзитивно на Vi с локальной изотропией. Дефриз [Defrise (1969)] нашел все локально изотропные формы метрики. Казн и Дефриз [Cahen, Defrise (1968)] получили все такого рода вакуумные метрики типа D, в то время как Эллис [Ellis (1967)] и Стюарт и Эллис [Stuart, Ellis (1968)] дали все локально вращательно-симметричные метрики пространств с идеальной жидкостью и электромагнитным полем. Использованные в этих работах подходы очень сходны. Сначала на основе свойств тензора кривизны определяли тетрады, пригодные для изучения изотропии, а затем налагали требование инвариантности по отношению к изотропии.
В § 4.2 и 5.1 (см. табл. 5.2) для каждого типа по Петрову и Плебаньскому определена максимальная группа линейной изотропии. Напомним, что какая-либо изотропия возможна только для типов D, N или 0. Этим типам соответствуют следующие допустимые изотропии: группа, порождаемая пространственными вращениями (3.16) и бустами (3.17), группа изотропных поворотов
(3.15) и группа Лоренца; допустим, безусловно, и подгруппы этих групп.
Можно определить каждую возможную подгруппу группы Лоренца; детали приведены во многих учебниках. Некоторые из этих возможностей для наших целей непригодны, так как только определенные изотропии совместны с данными тензорами Вейля и Риччи. Начнем с комбинации положений, изложенных в § 4.2, 5.1 и 8.5. В результате получим:
Теорема 9.2. Только пространства Эйнштейна (Rab=Agab) с группой движений Gr, г^.1 могут быть пространствами постоянной кривизны (8.35), допускающими Сю.
Далее увидим, что не существует пространства-времени с Gr (г>7), содержащего электромагнитное поле с C=0 в (9.1), и что единственными возможными метриками с Gi являются решение для идеальной жидкости с группой H3 пространственных вращений в каждой точке и чисто радиационное решение с H3, генери-
руемой изотропными (3.15) и пространственными (3.16) вращениями. Оба эти пространства должны быть конформно-плоскими. Они действительно существуют и проявляют себя в виде статической вселенной Эйнштейна и специальных плоских волн (см. гл. 1Q). Пространства, в которых максимальной группой является G6 с одинаковыми группами изотропии H3, порождаются одинаковыми тензорами энергии-импульса.
Теперь приведем краткий перечень случаев с менее высокими симметриями и изотропией, допускаемой алгеброй тензора кривизны.
В вакууме могут иметь место локально изотропные однородные решения H2 и Ни относящиеся к типам D или N по Петрову. Впрочем, в следующей главе будет показан только случай плоских волн типа N по Петрову с G6 и изотропными вращениями H2 в каждой точке. Кроме того, могут существовать неоднородные пространства с кратно-транзитивной группой G3 или G4, или Gs с изотропными орбитами (которая на основании теоремы 8.17 отсутствует для неизотропных орбит).
В присутствии Л-члена ситуация в основном такая же, как для вакуума, за исключением того, что существует решение типа D по Петрову с группой G6.
Локально-изотропные метрики с неизотропным полем Эйнштейна — Максвелла будут либо конформно-плоскими, либо будут относиться к типу D по Петрову. В последнем случае все инвариантные плоскости тензоров Rab, С*abed и F*ab совпадают. В гл. 10 найдены только такие однородные пространства-времена, которые допускают G6; это метрика Бертотти — Робинсона и конформно-плоская метрика. Допустимы еще решения с G4 на V3 или G3 на V2-
Для изотропного электромагнитного поля локально-изотропное решение должно быть либо конформно-плоским, либо относиться к типу N по Петрову. Здесь инвариантные плоскости тензоров Rab, C*abcd и Р*аь снова совмещаются. Только однородные случаи могут оказаться специальными плоскими волнами (см. гл. 10). При меньшей симметрии, в принципе, могут иметь место группы Gs или G4 на Nз, либо G3 на N2 (см., однако, гл. 21). Только конформно-плоские пространства являются специальными плоскими волнами (ср. с § 32.5).
Для чистого излучения ситуация существенно та же самая, что и для изотропных электромагнитных полей (пренебрегая замечаниями относительно F*ab).
В заключение перейдем к случаю решений с идеальной жидкостью. Конформно-плоские решения с идеальной жидкостью (см. § 32.5), допускающие группу изометрии, являются либо вселенными Фридмана — Робертсона — Уокера (см. § 12.2), либо внутренней метрикой Шварцшильда (см. § 14.1). Неконформно-плоские пространства с идеальной жидкостью, обладающие локальной изотропией, допускают группу пространственных вращений Hi. Такие решения существуют для Gs на V4 (решение Геделя), G4 на V3 и G3 на V2. Все они были определены в явном виде Эллисом [Ellis
