Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь рассмотрим вопрос о размерности г максимальной группы движений, допускаемой данным римановым многообразием. Полезным подспорьем в этом направлении является следующий результат.
Теорема 8.9. Если киллингово векторное поле ? удовлетворяет в точке р условиям 5“=0 H ?а;Ь=0, ТО |=0.
Доказательство. Локально любую точку p'suf можно соединить с точкой р геодезической, обладающей в р касательным вектором v. Тогда ? фиксирует согласно (2.59) р и v и сохраняет аффинно параметризованную дистанцию (расстояние) вдоль геодезической с касательным вектором V в точке р. Это, в свою очередь, фиксирует р'. Таким образом, |=0 в любой точке р'.
Отсюда следует, что 1) группы изотропии и линейной изотропии точки P изоморфны, 2) киллингово векторное поле полностью определяется заданием
л(л-|-1)/2 значений величин ?„ и |а;ь в точке р.
Остается только выявить дополнительные ограничения на эти величины, приводящие к интегрируемости уравнения (8.23). Из общих теорем для систем дифференциальных уравнений в частных производных известно, что все ограничения такого рода получаются последовательным дифференцированием исходных уравнений (см., например, [Eisenhart (1933)]. Для уравнения Киллинга первое дифференцирование (8.23) дает
(SeiDabc = о 4==5> 5а; be = Rabcdld. (8-24)
что вместе с (8.23) приводит к системе дифференциальных уравнений первого порядка для величин Ъ;с- Их условия интегрируемости получаются дальнейшим дифференцированием и определяются уравнениями
^s(Vfll-VojvR) = 0. " = 0, I1 2... (8.25)
для последовательных ковариантных производных тензора Римана R. Каждое из этих соотношений дает уравнение, линейное относительно ?о и ?ь-с (как видно из § 2.8). Так как существует не более л (/1+1)/2 независимых условий интегрируемости, то должно существовать такое целое число Q, что условия (8.25) для N>Q >в любой точке алгебраически зависят от условий с N*cQ. В соответствии с этим выводом и аналогичным анализом для группы изотропии (Ia==O) и группы конформных движений можно доказать следующие теоремы:
Теорема 8,10. Если ранг линейных алгебраических уравнений (8.25) для U и ?а;ь равен q, то максимальная группа движений Gr пространства Vh имеет
г= ~2~ п(п-1-1)—q параметров.
Теорема 8.11 [Defrise (1969)]. В Vn1 допускающем группу движений Gr, ранг линейных алгебраических уравнений (8.25) для 1„-,ь с Ic==O равен р в том и только том случае, если существует подгруппа изотропии Hs, s— (1//)лх
Х Горема 8.12 ([Eisenhart (1949)], дополнение 27). Максимальный порядок группы конформных преобразований Gr в Vn равен г=(л+1) (я+2)/2.
77
Для определения векторов Киллинга, соответствующих данной метрике, или для определения ограничений на метрику и кривизну пространства, допускающего группу движений Gr с заданным г, можно использовать (8.25). Петров (1966) в основном пользовался этим методом. Что касается отыскания векторов Киллинга, соответствующих данной метрике, то обычно можно получить такую же информацию, как и из (8.25), замечая, что любое векторное поле, определенное инвариантным образом (например, главное изотропное направление тензора Вейля илн вектор скорости идеальной жидкости), или бивекторное поле (например, определенное собственным листом тензора Вейля типа D), или какая-либо похожая структура должны быть инвариантны по отношению к действию изометрии; координаты обычно приспосабливают к такого рода инвариантной структуре и тем самым облегчают вычисления.
В частности, по отношению к действию изометрий должны «быть инвариантны скалярные инварианты тензора Римана и их производные (см. § 5.1 и 31.4). Керр [Kerr (1963)] доказал, что в четырехмерном пространстве Эйнштейна число функционально независимых скалярных инвариантов равно 4—d, где d — размерность орбит максимальной группы движений.
8.5. Пространства постоянной кривизны
Тензор кричизны двумерного риманова пространства имеет только одну независимую компоненту /?і2і2- Тензор gated, определенный формулой (3.46), обладает той же симметрией индексов, что и Rabed, и не равен нулю (так как в двумерном пространстве он, в сущности, представляет собой определитель метрического тензора gab)- Поэтому в двумерном пространстве
Rabcd=K(gaegbd—gadgbe), (8.26)
К называется гауссовой кривизной.
В римановом пространстве с более чем двумя измерениями в любой точке р можно построить двумерное подмиогообразне, взяв все геодезические, проходящие через р с начальным касательным вектором вида av+Pw, где а и P действительны, а V и w — фиксированные векторы в р. Тогда уравнение (8.26) определяет кривизну К в двумерном направлении, соответствующем этому двумерному многообразию. Можно показать, что
к_ RabcdV0WbVcWd
(gacgbd — gadgbc) VaWbVcWd '
Пространство Vn называется пространством постоянной кривизны, если К в (8.27) не зависит ни от р, ни от V и w.
В таком случае (8.27) ведет к
(-8.28)
Qabcd-|-Qedcb“l“Qcbed~j"Qc<iob—0;
QabcdsRabcd—К (gacgbd—gadgbc),
а симметрии тензора Римана позволяют считать, что (8.26) с постоянным К относится к тензору кривизны пространства Vn.
