Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
v(<7)=(fl«).v(<7o); v(<7o)=(fle-i).v(<7). (8.4)
Соотношение (8.4) показывает, что группа G имеет одну и ту же размерность г во всех точках, а множество всех правовариантных векторных полей и касательное к G в точке qo пространство T являются изоморфными векторными пространствами. /--Мерная группа обозначается как Gr и называется г-па-раметрической.
Очевидно, что преобразования Ф», генерируемые правоинвариантиым векторным полем V способом, описанным в § 2.8, коммутируют с правыми трансляциями. Если Ф(9о=7(0> то получим
ФtQ' = = Я,/ФіЧ» = %'Я (0 = <7 (0 </'. (8.5)
так что Фt=Lg(t)-, правоинвариантные векторные поля представляют собой ин-финитезимальныс левые трансляции. Уравнение (2.32) показывает, что коммутатор двух правоиивариантных полей также правоиивариантное векторное поле. Таким образом, если в качестве базиса пространства правоинвариантных векторных полей взять {!a, A=I,..., г), то мы должны получить
Ra, Ы=Сслв|с; Ссав=-С°ва. (8.6)
Коэффициенты Cc а в известны как структурные константы группы. Алгебра Ли определяется как (конечномерное) векторное пространство, в котором задана билинейная операция [u, v], удовлетворяющая условию [u, v]=—[v, и] и тождеству Якоби (2.7). Таким образом, имеют место теоремы.
Теорема 8.1. Группа JIu определяет единственную алгебру Ли. Можно показать, что обратное также верно.
Теорема 8.2. Каждая алгебра Ли определяет единственную (односвязную) группу Ли.
Говорят, что элементы или базис алгебры Ли генерируют группу.
Доказательство можно найти, например, в работе [Cohn (1957)]. Теорему 8.2 можно переписать при учете замечания, согласно которому тождество Якоби (2.7) выполняется для (8.6) в том и только том случае, если
С[АвСс]Е=0- ^8'7)
Таким образом, справедлива теорема 8.3.
Теорема 8.3 (третья фундаментальная теорема Ли). Любая система констант Caвс, удовлетворяющих условиям Ca вс—Сл вс и (8.7), определяет структурные константы группы.
Теорема 8.2 не требует, чтобы из данной алгебры Ли возникала только
одна группа Ли. Например, группа Лоренца L\. и і руппа SL (2, С) (см. § 3.6) имеют одинаковые алгебры Ли. Однако все группы Ли с заданной алгеброй Ли являются гомеоморфиыми образами группы, определенной в теореме oU.
Все предыдущие результаты можно повторить, меняя местами «левое» и «правое». Базис алгебры Ли левоинвариантных полей будем обозначать через
72
(Ла; A—1,..., г}. Для всех Л и В из (8.2) следует
[І4- tI8I = 0- (8.8)
Очевидно, должно существовать несколько зависящих от положения матриц Ma (q), таких, что г|а=-Мав§в, и будут обратные матрицы Ш-')лв. Уравнения (8.8) и (8.6) показывают, что
[1U, Чв]=— (МлсМв*>С*сх>(Л1-’)кл)г1к. (8.9)
Таким образом, структурные константы Dabe базиса, {цд} связаны с Слвв. Выбор IIa = —І а в точке показывает, что алгебры Ли и, следовательно, группы Ли левых и правых трансляций изоморфны. Однако чаще выбирают т|а=?л, что приводит к
DaBC=-Cabc. (8.10)
Коммутаторы [u, v] правоинвариантаых векторных полей являются инфи-нитезимальными генераторами коммутаторной подгруппы группы G [т. е. подгруппы, сформированной из всех произведений вида <7i<72(<7i)-1(</2)-1]- Она также известна под названием (первой) производной группы, а ее алгебра Ли, натянутая на Савс|а, известна под названием производной алгебры. Группа называется абелевой, еслй каждая пара ее элементов коммутирует: для групп Ли это верно в том и только том случае, когда все структурные константы равны нулю. Подгруппа И группы G называется нормальной или инвариантной, если qhq~'e
еН для любых АєЯ и q^G; для группы Ли это верно в том и только том
случае, если генераторы (?=1, ..., р) группы H удовлетворяют условию
16а, CfI=CiAib (8.11)
для всех А и і. Группа называется простой, если у нее нет иных инвариантных
подгрупп, кроме нее самой и единичной группы, и аналогично группа называется
полу простой, если у нее нет инвариантной абелевой подгруппы. Производная группа всегда инвариантна. Группа называется разрешимой (или интегрируемой), если существует последовательность подгрупп Gr, Gri,..., Gf^ с г>г\>...
...>гь=0, такая, что G —производная группа группы Gr
і і-1
Любая подалгебра алгебры Ли группы Ли генерирует подгруппу Ли, а подалгебра с базисом (?і), удовлетворяющим (8.11), известная под названием идеал, генерирует инвариантную подгруппу.
Возможно такое определение канонических координат группы Ли G, что заданный базис {|а} в точке имеет вид \А—д!дхА\ впрочем, это может быть сделано многими способами [Кон (1957)].
8.2. Перечень различных групповых структур
При линейных преобразованиях базиса {|д} величины САвс из (8.6) преобразуются как тензор. При поиске различных групп нам понадобятся такие наборы констант СЛБс, которые не могут быть связаны указанными линейными преобразованиями. Поэтому в перечне естественно использовать свойства, инвариантные по отношению к линейным преобразованиям, такие, как размерность производной алгебры. Методы перечисления всех комплексных групп Ли хорошо известны и используются как в чистой математике, так и в квантовой физике. Ho перечисление действительных алгебр Ли, несмотря на то, что его основы также известны давно, широко не изучалось. Приведем здесь различные структуры групп G2 и G3 и укажем, как можно перечислить все Gt. Мы опускаем полный перечень структур группы Gi, так как многие входящие в него случаи не встречаются при поиске точных решений. Перечень, рассмотренный Петровым (1966), был усовершенствован Патерой и Винтерницем [Patera, Winternitz' (1977)], а также Мак-Каллумом [MacCallum (1979в)].
