Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Неизвестные структурные константы C1td, C^1 Cta^ должны удовлетворять тождествам Якоби (8.7), что позволяет перечислить все возможности. К результатам Шмидта можно добавить следующее замечание. Если группа имеет простотранзитивную подгруппу, то последняя должна обладать базисом (Z0; Ct=I,... ... d}, согласующимся с {?„} в точке р. Таким образом, должно быть
где Aia — константы. Можно легко вычислить коммутаторы [Ze, Z^]. Условие, что эти коммутаторы должны быть натянуты на векторы Za (так, что генерируется подалгебра), приводит к ограничениям на Aia. Теперь можно определить все возможные просто-транзитивные подгруппы.
Используя базисные векторные поля {?„} в окрестности точки р, можно
найти кривизну в точке р следующим образом [Schmidt (1971)]. Коэффициенты связаности задаются выражениями
8.6.2. Кратио-траиэитивиые группы
(8.55)
(8.56)
82
Таблица 8.2. Выражения для векторов Киллинга и генераторов взаимной группы в канонических координатах и для каждого типа Бианки
Tm і II IV V VI (включая III)
дх дх—уду— —(У + г)дг дх—уду— —гдг дх + (z — Ау)ду + (У — Аг) дг
ду *у дУ ду ду
дг дг+удх дг дг дг
дх дх дх дх дх
¦Па ду ду+гдх е-*(ду-— xdz) е-хду е~Ах (ch хду + sh хдг)
дг дг е~хдг е-*дг е~Ах (sh хду + ch хдг)
dx dx—zdy дх dx дх1
<*А dy dy exdy exdy еАх (ch xiy — sh хдг)
dz dz е* (dz-\-xdy) exdz (— sh xdy -(- ch xdz)
Продолжение табл. 8.2
Тип VlI VIII
дх+ (г — Ау)ду— (у + Аг)дг dx
Бд ду — sh x th ydx -(- ch xdy — sh x sech ydz
дг ch x th ydx — sh xdy + ch x sech удг
дх sech у cos zdx — sin zdy — th у cos zdz
yI А ZTax (cos хду — sin хдг) sech у sin zdx + cos zdy — th у sin zdz
e_i4jc (sin хду -j- cos хдг) dz
dx ch у cos zdx — sin zdy
аИ е*4* (cos xdy — sin xdz) ch у sin zdx + cos zdy
e*4* (sin xdy -(- cos xdz) sh ydx + dz
6*
83
Продолжение табл. 8.2
Тип IX
!U sin * tg удх + cos хду + sin х sec удг cos х tg удх — sin хду + cos х sec удг
Па sec у cos zdx — sin zdy + tg у cos гдг sec у sin zdx + cos zdy + tg у sin гдг дг
aA cos у cos zdx — sin zdy cos у sin zdx + cos zly sin yd$ + dz
Коммутаторы дают в точке р
2rVsi=cV <8-57>
Симметричную часть связности можно найти с помощью уравнений
Киллинга, которые дают + ГТ0в = 0 и поэтому
2Гт (aP) = ^paT ^»РТ’ (8.58)
откуда
2^eSp = [«.. Spl + ШДр] Ip + (SpI111«) 8г%- (8.59)
Теперь дія вычислений следующей производной и, следовательно, тензора Римана с помощью (2.77) нам понадобятся VEa%j и VfcaY1-. Первое из этих выражений включает в себя только VjaSp и V|aST> так как ^iaS=O; но эти вели-
чины уже известны в точке р. Кроме того, VaaYi = VYiSa-MSa' Y<b и так как Yj = O в р, то это равенство упрощается до формы у^Yi = [|a, Y1-], которая
также уже известна. Таким образом, в базисе Ie в р можно вычислить компоненты тензора Римана.
Приведем теперь несколько примером использования этого метода в целях дальнейшего применения.
Сначала определим группы нзометрии, допускаемые двумерными положительно определенными пространствами постоянной кривизны. Изотропия Y является пространственным вращением, а || и |г можно выбрать так, что
[S.. YJ=MosY,-
(8.60а)
lb, Y] =IH-PY.
Линейное преобразование |, -» Si + PY, |а -» |, — aY исключает о и ?. Существует конечное преобразование ф: (%,, |2) -*¦ (—111 —12), такое, что
ФІІі- Ssl = ISi. SjI влечет за собой
[Si. Ssl = KY. (8.606)
84
С помощью описанного выше метода можно вычислить компоненты тензора Римана и показать, что К — его постоянная кривизна. Очевидно, что группой изом'етрии является группа G3, относящаяся к типам Бианки IX, VII0 или VIII, если К соответственно положительно, равно нулю или отрицательно. При изменении базиса Z1=|,-(-<xY, Z2=I2-J- PY получим
[Z1, Z2]=—aZi—'PZ2—f— (/С—f—<z2—j—P2) Y. (8.61)
Следовательно, существует просто-транзитивная подгруппа типа G21, если K-Q (задаваемая значениями а=Р=0) и однопараметрическое семейство просто-транзитивных подгрупп типа G2II (сопряженных друг с другом в рамках G3), если /С<0. Это семейство задается значениями а=|/С| sin q>, (i=|/f|coscp для произвольного угла <р. Второй из этих результатов, вероятно, широко не известен. Если /Є>0, то не существует просто-транзитнвных подгрупп; это эквивалентно положению, согласно которому группа вращений трехмерного пространства (орбитами которой являются сферы с центрами в начале координат — двумерные пространства постоянной кривизны) не имеет двумерных подгрупп. Однако трехмерная группа Лоренца (VIII тип по Бианки) имеет просто-транзитивные подгруппы G2; они порождаются комбинациями изотропного поворота и буста.
Очень полезно вычислить векторы Киллинга для S2 .постоянной кривизны. Для формы (8.42) они имеют компоненты, даваемые выражениями
-^iKV + \aK + J, ' (8.62)
где а действительно, a P комплексно (три параметра).
Вторым приложением метода Шмидта является доказательство, что максимальная группа изотропии пространства-времени не может состоять из (нетривиальной) комбинации буста и пространственного вращения. Если это так, то полная группа изометрии представляет собой G5 в K4 (так же как G3 в Vi или G4 в Vr3 имели изотропии, действующие только в двух- или трехмерных подпространствах касательного пространства). Используя в р базис, в котором |i и І2 — пространственно-подобные единичные векторы, расположенные в плоскости вращения, |3, |4 — изотропные векторы в плоскости буста, такие, что —1, с помощью метода Шмидта можно показать, что четыре вектора Киллинга (?ь §2. ?з. 1«) образуют абелеву группу. Следовательно, пространство будет плоским. Отсюда следует, что его группа изотропии фактически является H6-
