Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
8.6. Орбиты групп изометрии
Из предыдущего параграфа нам известно достаточно много об орбитах Vn групп движений Gr с r=~2 п(п-]-\). В этом параграфе мы хотим обсудить свойства орбит групп движений (с меньшим г). Сначала приведен следующие хоро* шо известные теоремы (см., например, [Eisenhart (1933)].
80
Теорема 8.16. Если орбиты группы движений являются гиперповерхностями, то нормали к ним — геодезические и если гиперповерхности неиэотропные, то они геодезически параллельны, т. е. выбирая аффинный параметр вдоль нормальных геодезических в качестве координаты хп, метрику можно привести к форме
ds* = gy.^dx4 + є (dxn)z; p., v = l, .... (я — і), є = + і. (8.46>
Теорема 8.17 (теорема Фубини). Риманово многообразие Vn размерности п>2 не может иметь максимальной группы движений с -^-«(/j-j-l)—1 параметрами.
8.6.1. Просто-транзитивные группы
Если группа просто-транзитивиа, то отображение |хР : G-+0P, использованное в § 8.3, представляет собой изоморфизм. Поэтому (цР). можно использовать для отображения левоинвариаитных векторных полей. Взяв этот базис на каждой орбите, метрику на орбите можно записать в виде
do2 = (Цд • TJb) Шл(йв = gAB W-4Wb1 (8.47>
где Wa дуальны к TJa (это не носит двусмысленного характера для неизотропных подмногообразий, если базис укомплектован добавлением векторов, ортогональных орбитам; если орбиты изотропны, то объект, дуальный к изотропной нормали, лежит, вообще говоря, вне орбиты, но даже здесь можно применить аналогичные идеи). Из (8.23) и (8.8) для любого вектора. Киллинга | следует 0. Поэтому метрика цАв постоянна на орбите.
Если просто-транзитивная группа G интранзитивна на Vn, можно выбрать
базис Ca=TJa (*4=1......г) раздельно на каждой орбите и укомплектовать базис
{еа; 0=1,.. я} касательного пространства в одной точке р каждой орбиты добавлением (л—г) произвольных векторов. Если векторные поля затем определены повсюду в Ov, то, используя (т4), на {еа}, по аналогии с предыдущими аргументами найдем, что
ds2=gab<oat»b (8.48)
с метрикой gat, постоянной на каждой орбите.
Векторные поля TJa порождают группу преобразований на каждой орбите, называемую взаимной группой', необходимости в том, чтобы она обладала какими-либо симметриями группы преобразований Gr, нет, т. е. в данном случав она, вообще говоря, не состоит из изометрий.
Часто бывает удобно выбрать в каждой орбите ортонормированный базис для генераторов взаимной группы. Их алгебру Ли нельзя полностью свести к канонической форме, так как имеются только обобщенные ортогональные группы линейных преобразований, а не общая линейная группа. Для просто-транзитивной G3 на S3 мы можем привести коммутаторы из генераторов такой орто-
нормированной взаимной группы {Еа: а = 1, 2, 3} к форме
[Еа. Ер] = ДЕ,; -L Д .«I» = „<**> + е*фЧ: (8.49)
(nilf) = diag(«,, л2> л3) и av = (а, 0, 0), (8.50)
где е*^— естественный антисимметричный тензор, определенный с помощью ga^
(с точностью до знака). В случае G4 просто-транзитивной на пространстве-времени генераторы ортонормированной взаимной группы имеют коммутаторы
[E0, E6I=Z^abEc, (8.51)
где ОссафО или согласно (8.10) выполняются (8.16) либо (8.17). (Доказательство этого утверждения в точности аналогично доказательству теоремы 8.4.)
В случае (неизотропной) орбиты просто-транзитивной группы тензор кривизны орбиты легко получается из (3.20) и (2.79), если помнить, что здесь, при уче-
6—99 81
(8.52)
(8.53)
— 2 (d°de) (dabE + dba) >
(8.54)
где поднятие и опускание индексов осуществляются с помощью gAB и gAB. При выполнении (8.10) возможно непосредственное использование структурных констант группы. Для пространственно-временных метрик с группами G3, просто-транзитивными на гиперповерхностях (например, пространственно-однородные космологические модели), будет удобно иметь выражения величин |А, цА и CDa, удовлетворяющих соотношениям (8.10), (8.47) и таблице 8.1, в терминах канонических координат, упоминающихся в конце § 8.1. Это сделано в табл. 8.2. Отметим, что такие координаты можно выбрать многими различными путями вследствие свободы выбора начального базиса, представленного в табл. 8.1, и свободы выбора р для в орбите (см. § 8.3).
Здесь мы рассматриваем только неизотропные орбиты. Шмидт [Schmidt (1968)] показал, как рассчитываются все возможные алгебры Ли для данной группы изотропии с известными размерностью и сигнатурой орбиты. Кроме того, он предложил способ вычисления кривизны результирующих орбит.
Метод заключается в следующем. Подгруппа изотропии Н, в выбранной точке р должна быть (известной) подгруппой обобщенной ортогональной группы. Следовательно, коммутаторы ее генераторов {Y<; i=l,..., s) известны. Базис генераторов полной группы движений можно дополнить добавлением d не равных нулю векторов Киллинга {|а; <*=1........d), которые можно выбрать в точке
р так, чтобы они были приспособлены к группе изотропии (например, если Ht состоит из изотропных поворотов, фиксирующих вектор к, то выбирается ?i=k). Действие (линейной) группы изотропии на векторы в р известно (из действия обобщенной ортогональной группы) и поэтому известны коммутаторы [|а, Y4] с точностью до выбора членов в Yj, т. е. известны структурные константы .
