Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(5.25), из которых получим
а,б=2(/т„/тп)-(Тьо/а';с+/ба/“';с). (5.29)
[Было учтено, что fab и 7.6 удовлетворяют тождеству (3.30), справедливому для произвольных бивекторов.] Для того чтобы выразить градиент а,„ через геометрические величины, можно использовать соотношения:
I X Л»
^ abcd = ~2~ tcdet(Sea$b ^ЄЬ$а) — 2 (fabfcd— fabfcd)'’
(5.30)
Eabcd. d = -у - (Rac; b — Rbc-“) = -y ((abIcd + JabJcd). d,
следующие из (5.26). Окончательная формула
“.а = - 2 (5.31)
даіет возможность найти «фазу» («complexion») а (с точностью до аддитивной постоянной), обеспечивающую выполнение условия (5.21). Таким образом, геометрия Райнича определяет ассоциированное с ией электромагнитное поле Faь единственным образом с точностью до постоянного дуального поворота.
Задача определения изотропного электромагнитного поля из геометрии полностью не решена [Jordan, Kundt (1961); Ludwig (1970)].
Cm.: [Goodinson, Newing (1968)].
5.5. Идеальные жидкости
Для полного описания идеальной жидкости тензор энергии-импульса (5.9) дополняется уравнением состояния, выражающим, скажем, плотность массы покоя р как функцию плотности энергии ц и давления р (рассматривается жидкость, состоящая из сохраняющихся микроскопических частиц). Сохранение числа частиц обеспечивается требованием
(ры°);о=0. (5.32)
Закон сохранения Tab-,ь=0 и термодинамическое соотношение
dh=-J-dp+ Tds, k=(y.+ p)/f, (5.33)
где Л и s обозначают удельные энтальпию и энтропию соответственно, приводят к уравнению
QabUb=—Ts.a, Siab= (hUa);b—(hUb) .а- (5.34)
Из (5.34) получим Sl0M0=O (изэнтропическое движение).
Для постоянной удельной энтропии s соотношение (5.33) приводится к виду
d\i= (\i+p)dp/ p. (5.35)
56
Соотношение (5.35) показывает, что ц и р зависят только от р или что р является функцией ц : р=р(ц).
При изучении решений с идеальной жидкостью и специальными свойствами (симметрии и т. д.) мы нашли, что можно использовать два подхода: либо соотношение р=р(ц) задается заранее, либо, чаще, ц и р вычисляются из уравнений поля, и в общем случае не существует соотношений типа р=р(ц) между ними. He будем рассматривать вопрос о том, допускают ли решения последнего типа термодинамическую интерпретацию, согласующуюся с (5.32); такая интерпретация должна быть, безусловно, установлена заранее, если мы хотим получить решение, обладающее физическим смыслом. В то же время можно сконструировать физическую ситуацию, такую, как присутствие вязкой жидкости, в которой становится необходимым рассматривать типы тензора Риччи более общие, чем обсуждаемые в этой книге.
В тех случаях, когда уравнение состояния идеальной жидкости задается прежде, чем решаются уравнения поля, оно часто принимает простую форму
P=(Y-I)H, (5.36)
где Y — постоянная. К случаям, имеющим частный интерес, относятся случаи
«пыли»: '
р= 0, y=1; (5.37)
«(некогерентного) излучения*:
р=ц/3, у—4/3, (5.38)
получивший такое название из-за того, что он представляет суперпозицию волн безмассового поля (например, электромагнитного поля) со случайным направлением распространения;
«жесткой материи»:
р=ц, y=2. (5.39)
Так как (5.39) приводит к скорости звука, равной скорости света, характеристики управляющих ими уравнений такие же, как у гравитационного поля, и, следовательно, такие решения часто можно получить из вакуумных решений (см., например, [Wainwright е. а. (1978)].
Класс решений с изэнтропической вращающейся идеальрои жидкостью можно построить исходя из уравнения (5.34) при использовании функций т, ?, Ч как локальных координат В разложении (Ta = ^Ua-Т,о4-Т)?,а (cP- с теоремой
2.3) 1-формы а (см. [Krasinski (1974)], § 20.2).
Глава 6
Векторные ПОЛЯ
6.1. Векторные поля и их инвариантная классификация
Векторные поля в четырехмерных римановых пространствах часто характеризуются свойствами своих .первых ковариантных производных и построенными из этих производных инвариантами. Мы приведем только определения и некоторые простые приложения существующего стандартного метода, необходимые для дальнейшего изложения. За подробностями, связанными с физическим смыслом и интерпретацией инвариантов векторных полей, мы отсылаем читателя к соответствующей литературе [Ehlers (1961); Greenberg (1970); Jordan е. а.
(1961)1.
Векторное поле V (х') называется ортогональным к гиперповерхности, или невращающимся, или нормальным, если оно пропорционально градиенту
Va=Xfia, (6.1)
т. е. в том и только том случае, когда вращение
(aa=BabcdVb.cVi (6.2)
исчезает.
57
Векторное поле V (Xі) называется геодезическим, если оно пропорционально вектору t, касательному к геодезической [см. (2.76)]:
Va=Xta-, DtaIdVi=0, (6-3)
где ц — аффинный параметр. Уравнение (6.3) эквивалентно
wIa0*]: У =0- (6-4)
Векторное поле V называется рекуррентным (или параллельным), если его ковариантная производная пропорциональна ему самому:
va;b==vaKb, (6.5)
К=К'д/дх* — вектор возвращения (recurrence vector). Легко проверить, что рекуррентный вектор является геодезическим и иевращающимся. Следовательно, его компоненты можно записать в виде Va=Xf,а. Вместе с (6.5) это приводит к
