Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
f,a.b=f.a(Kb—X.b/X). (6.6)
Если вектор V не изотропный (f'af,афО), ТО из (6.6) следует
*0 = ^4^^=-!- (InХ’МЫ.а. (6.7)
Таким образом, вектор К является градиентом, а функцию o=(X2/,l’f.i>)-1/2 можно подобрать так, что
ау0=ю0, Bi0J6=O. (6.8)
Следовательно, иеизотропное рекуррентное векторное поле пропорционально (ко-вариаитно) постоянному векторному полю.
Если вектор V изотропен, то из (6.6) можно получить, что изотропный вектор k(f,a=ka) удовлетворяет соотношению
ka;b=akakb, (6.9)
так как f,a-,b симметрично по а и Ь, а следовательно, и правая часть также должна быть симметричной по этим индексам. Этот изотропный вектор пропорционален постоянному вектору только в том случае, когда «,[а^б]—0. Все пространства-времена, допускающие изотропный рекуррентный вектор, обсуждались в работах [Debeve, Cahen (1961); Oktem (1976)].
Киллингово векторное поле | удовлетворяет уравнению Киллинга
(6.10)
Учитывая большое значение уравнения Киллинга и групп движений, мы посвятим им отдельную главу (см. гл. 8).
Два вектора V, w называются образующими поверхность, если производная Ли от одного вектора вдоль другого дает вектор, лежащий в плоскости, определенной обоими векторами:
vawb-,a—wavb;a= (?Cvw) о=— (?Cwv) ь=Ь!,+цш1’, (6.11)
или, что то же самое,
BabCdVbWc (Stv W) <<=0. (6.12)
Временно-подобные единичные векторные поля.
Ковариантную производную временно-подобного векторного поля и (*¦'),
иаиа=—1 можно разложить следующим образок:
иа. ь = — иаиь + шаЬ + oab + Bkab/3; йа = Uai ьиь = Dua/dx~, UaUfx = 0;
Mab ™ «|а; Ь\ + Ч««6); ^bUb = 0; (6.13)
zab sа(о; b)+ ii(aub) — 6Aa()/3; zabub = 0; bob = gab + UaUb-, habub = 0;
в-«Га-
58
В физике временно-подобное векторное иоле и часто используют в качестве
4-скорости ЖИДКОСТИ, И поэтому величины Jid, 0, Ь)аь и Oab называют ускорением, растяжением, вращением и сдвигом соответственно*. (Аналогичное разложение для пространственно-подобного векторного поля рассматривается в работе fGreenberg (1970)].
Если исследуются конформные свойства пространства-времени, интересно знать, как эти инварианты изменяются при конформном преобразовании ?<,ь— —e2ugab [ср. с (3.81)]. Мировые линии jc'(t) остаются неизменными, 4-скорости связываются друг с другом соотношениями йа=е-ииа, йь=еииь, а для инвариантных составляющих их производных получим:
Геодезические изотропные векторные поля.
Для разложения ковариантной производной геодезического изотропного векторного поля к (я4), удовлетворяющего условию
обычно вводится комплексная изотропная тетрада (т, ш, 1, к), определенная в (3.8). Тогда результат разложения запишется в виде:
где вектор к задан, тогда как векторы ш, ш, 1 не определены единственным образом. Тем не менее величины в, «о2 и аа являются инвариантами, не зависящими от выбора изотропной тетрады.
Вследствие (3.35) и (6.16) со можно определить также из
В силу (6.16) ka;b УДОВЛЄТВОряЄТ УСЛОВИЮ Zabcika-,bkc-,d—0 (МЭКСИМЭЛЬНЫЙ ранг матрицы ka-,b равен двум); ЭТО условие И тождество EobctfkC;d;a=0 ПОЗВОЛЯЮТ получить из (6.16) соотношение
* Монадный метод описания систем отсчета в общей теории относительности также основан на задании поля единичного времеино-подобного векторного поля — монадыт“эиа, имеющей физический смысл 4-скорости пробных приборов. В отечественной литературе чаще используют следующие обозначения и термины: й“ -* Fa —вектор ускорения; <оаь~*Аа^ — тензор угловой скорости вращения; оаь—бесследовая часть тензора скоростей деформации системы отсчета; 0-*D= —А“®; hab-+ha^ имеет смысл метрического тензйра локального
трехмерного пространственного сечения, ортогонального г“. — Примеч. ред. перевода.
(6.14)
ka-bkb=Q.
(6.15)
ka. ь = 2 Re [(в 4- і со) mamb — о mamb) -f vakb -f kawb; vaka = 0 = waka;
(6.16)
“!=> 2 h[a:b)
-Tz*b‘:dkbkc.d = uk<>.
(6.17)
М«),..=ш,.*Ч-2в<а=0.
(6.18)
С физической точки зрения геодезические изотропные векторные поля можно интерпретировать как векторы, касательные к световым лучам. Поэтому величины в, <о и и называют растяжением (или расходимостью), кручением (или вращением) и сдвигом соответственно.
Из разложения (6.16) следует:
р=—(в+ію) =—ка-ьтатъ\
о=—ка-ьтать\ х=—ka,bmakb=0. (6.19)
Выражейия р, а и х представляют собой три из двенадцато (комплексных) спиновых коэффициентов Ньюмена — Пенроуза (см. § 7.1). Для достижения соответствия с обычным определением спиновых коэффициентов (см. § 7.1) мы выбрали для а в (6.16) и (6.19) знаки, отличные от принятых в работе [Ehlers, Kundt (1962) J.
Изотропная конгруэнция к будет нормальной в том и только том случае, если <о равно нулю. Если произвольная изотропная конгруэнция является нормальной, то и геодезической.
Если мы произведем конформное преобразование й*ъ=(?и gab (см. (3.81)] и повторим условие ka-,bkb=Q для преобразованного вектора, то изотропное векторное поле будет подвергнуто преобразованию вида 6a=ka\ отсюда следует
%¦ ь = ka. b-kau, b~kbU, a + gabk'U, е (6.20)
и
