Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
^196Cm.: [Bel (1958, 1959); Penrose (1968); Adler (1973); Peries (1976)].
47
4.4. Определение типа по Петрову
Простейший метод отыскания типа по Петрову (тензора Вейля) гравитационного поля в заданной точке р заключается в определении корней алгебраического уравнения четвертой степени (4Л7):
Y0—4?Y,+6?*Yj—4^3+2^=0, (4.28)
где коэффициенты %.......4%, определяемые формулой (3.59), можно вычислить
по отношению к любой комплексной изотропной тетраде в р. Если порядок алгебраического уравнения (4.28) равен (4—т), то существуют (4—т) главных изотропных направления к и 1, представляющих m-кратное главное изотропное направлений. Как только кратность корней уравнения (4.28) известна, тип по Петрову можно немедленно получить с помощью обращения к табл. 4.3.
Алгоритм определения типа по Петрову из 1Fo... V4 продемонстрирован
на рис. 4.2 [d’Inverno, Russell-Clark (1971)]. В случае, когда Y4^fcO на рис. 4.2, используются следующие определения:
I = - 4W.Y, + 3W2,; / =
W4 W, Ws W, W2 W1 Ws W1 We
(4.29)
/С = Y1Y24-3W,W,WS + 2WJ3; L ¦¦
Nsa 12L3 — Ws4/.
Если 1F4=O, a Yo=?0, в определениях (4.29) нужно поменять местами Yo н Y4, а также W, и Ya, а алгоритм оставить без изменений. Для Yo=Y4=O кратность корней уравнения (4.28) определяется очень легко.
Если оба инварианта / и / исчезают, то как минимум три главных изотропных направления совпадают. Из диаграммы и определений (4.29) следует, что
Рис. 4.2. Диаграмма для определения типа по Петрову
гравитационные поля с повторяющимися главными изотропными направлениями k (Yo=Yi=O) относятся к типу D в том и только в том случае, когда оставшиеся тетрадные компоненты тензора Вейля удовлетворяют условию
3Y2Y4=2Y23. (4.30)
В качестве примера возьмем поле, рассмотренное в конце § 3.3. Используя изотропную тетраду, связанную соотношениями (3.12) с базисом (3.24), полу-
48
чаем
Фо = Ф1 = Ф2 = 0; «Ра = -?-]/"-?-а’; Ф4=--|-а2;
7 = /=0; K= 2*Рг3 0. (4.31)
Существование тройного корня ?=0 подтверждает, что поле относится к типу III. Исходный базис оказался случайным образом приспособленным к тройному главному изотропному направлению к.
Эквивалентный метод определения типа по Петрову основан на уравнении для собственных значений (4.4). Используя инвариантный критерий для матрицы Q, приведенный в табл. 4.1, можно вычислять Q по отношению к произвольному ортонормированному базису {Е0}.
В § 3.3 мы вычислили кривизну для рассмотренного выше примера. Результирующая матрица
— і V3/2 —1\
-\УЩ -Уф і) <4-32>
точно удовлетворяет критерию (4.7) для типа III, и Q можно преобразовать
с помощью ортогональных комплексных преобразований к нормальной форме,
указанной в табл. 4.2.
Глава 5
Классификация тензора Риччи и тензора энергии-импульса
5.1. Алгебраические типы тензора Риччи
В § 3.5 мы разложили тензор кривизны на неприводимые части. Инвариантную классификацию тензора Вейля обсуждали в гл. 4. Здесь мы рассмотрим алгебраическую классификацию оставшейся части тензора кривизны — бесследо-вого тензора Риччи 5аь-
Каждый симметричный тензор второго порядка определяет линейное отображение, переводящее вектор V в другой вектор w. Естественно исследовать уравнение на собственные значения
SabVb=kva. (5.1)
Так как член, пропорциональный цаь, только сдвигает все собственные значения, оставляя их количество неизменным, мы можем рассмотреть уравнение на собственные значения для тензора Риччи Rau:
R%v’’ = lva; I=J+-\-R. (5.2)
При положительно определенной метрике действительную симметричную матрицу всегда можно привести к диагональному виду действительным ортогональным преобразованием. Однако лоренцева метрика gaь приводит к более сложной алгебраической структуре: элементарные делители могут быть не простыми, а собственные значения могут быть комплексными. Уравнение для собственных значений (5.2) определяет порядки ... нь, элементарных делите-
лей, относящихся к различным собственным значениям. Обозначение Cerpe дает именно эти порядки, а круглые скобки указывают, что соответствующие собственные значения совпадают. Если два собственных значения комплексно сопряжены, они обозначаются ч'ерез Z и 7..
4—99 49
Обозначения Плебаньского (1964) указывают, является ли пространство, «атянутое на собственные векторы, которые относятся к определенному действительному собственному значению, временно-подобный (T), изотропным (N) или пространственно-подобным (S). Кратность собственного значения записывается против этого символа. Наконец, числа пц,..., тн добавляются в качестве индексов, заключенных в скобки.
Таблица 5.1. Алгебраические типы тензора Риччи
Обозначения Cerpe Обозначение Плебаньского Основная физическая интерпретация
А I 1 1.1] [1 1(1. 1)] (1 1)1. 1] (I I) (I. 1)] 1(1 1. 1)1 (111 1), 1] (I 11. 1)] “і (in) 2S, Sy (iii) 2S 27j(,,) 5-371(,.) 3S-71(,.) 474(,, Неизотропиое электромагнитное поле (тахионная жидкость) Идеальная жидкость Л-Член
Л 11 I. Z2J [(I I), ZZ] [S1 S2 Z — Z] (ли) [2S— Z ZJ (1п)
