Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
ds1 = 2011*!2 — 2<й3(й4;
(й 1 = dF-}-(о-f-/) dr = о2;
(22.10а)
<и3^dujr (F + F) dr; <a* = dv + (g + Ff u -f Ffi „) dr;
F^(-g.u + W)!2f.uu, f.au^O.
15—99 225
Эти решения содержат две произвольные функции f(u, г) (комплексную) и g(u, г) (действительную). Соответствующее поле излучения характеризуется следующими величинами:
I\i ==—dr', о=р=—Aftuu',
Фї2==—Af'Uuf.uu', (22.106)
A~l =2 Re {f.uu [— (F+F) F,u+F,u+F,r+v+J}}.
В случае, если Г« комплексно и
IpI = M; ІФаМ^І, (22.ii)
решениями являются (в координатах ?, ?, г, v)
ds2=2<o'(o2—2<oV; o^dF + odC + Ad!; = ®*; и3 = FdC+ FdCi <** = dv- (Ff +A_) dC — (Ff+A, c) df;
(22.12a)
F = -rl(r + h^-fh). 0.
Они_содержат две произвольные комплексные функции /(?, ?) и А(?, ?). Соответствующее поле излучения характеризуется (22.11) и следующими соотношениями:
Г41 = - dC; р = - AFf~ t; а= Л?/д;
Фм =-Af -I,; A-1 = 2Re [Ftf __с + F_ с) — ? <(А — F с)]. (22.126)
Для комплексного Г41, когда (22.11) не удовлетворяется, Пле-баньскому удалось свести полевые уравнения к дифференциальному уравнению
Irn “Л AA.U] = °, (22.13а)
Ь.ииФ 0.
Если решение А(?, %, и) уравнения (22.13а) известно, то метрику можно получить из
ds*=2<о'<о* — 2ю3<о4;
ш* = dZ + rdC + AdC = <0*;
<o8 = du + LdC + LdC, <o4=dr + lFdC + #dC; (22.136)
IF = -^A = -A.c + IA.„;
L = h,uilh'UU ф:=> ~dh%u = 0,
226
где P = — А (г -\-dL), О = Л (Л+ <?!), Фи = —оЛ.да;
Л-' = I r + dZ г — I л +Iі; d=dt-Ldu (22.13b)
(Фгг>0 должно быть гарантировано). В (22.13) включены вакуумные решения типа N с вращением (для а=0).
Общее решение уравнения (22.13а) в случае действительного h,u (что означает действительность дЕ и, следовательно, действительность р) было дано Плебаньским в виде
А (и, С, С) = (F-sF.)+ (С-SOJ-S61K;
F=F(x, s); G = G {у, s); Зь = 9ь(х, у), VX = XjrI у; ^2 14) « = Fs4-G.s + .^^>sr=s(«, JC1 г/); м.,^0,
где F, G я 3> — действительные функции. Это решение включает частное решение, найденное Кёлером и Уолкером (1975), которое в наших обозначениях получается при
A=U2(I-I-K)-1.
Для действительного р другая форма оставшегося полевого уравнения была найдена Кёлером и Уолкером [Kohler, Walker (1975)].
В случае идеальной жидкости (или пыли) условие
Rabkakb=О
всегда нарушается (если ц+р=?^0). Если остальные предположения (22.1) — (22.3) удовлетворяются, то можно применить методы, развитые для рассмотрения случаев (22.1) — (22.3) (см. § 29.1,
29.2).
22.2. Конформно-плоские решения
По определению метрику конформно-плоского пространства-времени можно записать в виде
ds2=e2u(x.y,z.t)(dx2+dy2+dz2—dt2). (22.15)
Эквивалентное, не зависящее от координат определение использует тот факт, что тензор Вейля Саьсл (3.50) равняется нулю в том и только том случае, если пространство-время конформно-плоское: метрика является конформно-плоской, если
Rabcd' 2 (Sac Rbd ’ Sbd^ac Sad^bc SbcRad)
— (gargbd — SadSbc)' (22.16)
Так как тензор Вейля равен нулю, он не определяет какого-либо изотропного вектора, который можно было бы использовать при построении метрик и решений; так что необходимо применять другие методы.
15* 227
Уравнение (22.16) показывает, что конформно-плоские вакуумные решения (Rab=O=R) являются плоскими. Все конформноплоские решения для идеальной жидкости, электромагнитного поля или поля чистого излучения известны. Так как большинство из них было получено с помощью применения метода вложения, более детальное рассмотрение этого вопроса будет дано в гл. 32. Здесь будут изложены только основные результаты.
Конформно-плоскими решениями в случае идеальной жидкости являются или обобщенные внутренние решения Шварцшильда
(32.40), или обобщенные решения Фридмана (32.46); для пыли решениями будут только модели Фридмана, а единственным стационарным решением является статическое внутреннее решение Шварцшильда (14.14). Конформно-плоские поля Эйнштейна — Максвелла дают либо метрику Бертотти — Робинсона (32.95),
(32.96) (с неизотропным электромагнитным полем), либо они являются специальными плоскими волнами (32.103), (32.104) (с изотропным электромагнитным полем). Конформно-плоские поля чистого излучения содержатся в (32.103); их всегда можно интерпретировать в терминах изотропного электромагнитного поля.
О группах движения в конформно-плоском пространстве-вре-мени см. [Levine (1936, 1939)].
22.3. Решения Ньюмена—Тамбурино
Изотропная кратная главная конгруэнция тензора Вейля алгебраически специального вакуумного решения является геодезической и бессдвиговой [ср. с (22.1)]. Хотя вакуумные решения, обладающие геодезической, но имеющей отличный от нуля сдвиг (и= =0, аф0) главной изотропной конгруэнцией, являются алгебраически общими (невырожденными типа I по Петрову), мы все же перечислим их здесь, потому что метод построения решений (без вращения) с этим свойством очень сходен с методом, приведенным в общих чертах в гл. 23 для класса Робинсона — Траутмана. В силу того что аФО, вычисления будут более длинными (подробности см. также [Carmeli (1977), с. 244]). Все вакуумные метрики с х= =0, со=0, аФО, &Ф0 были получены Ньюменом и Тамбурино [Newman, Tamburino (1962)]. Метрики с афО, р=0 не могут существовать вследствие вакуумных уравнений _поля, а решения с аф0, <о =7^=0 возможны только, если рр = аа [Unti, Torrence
