Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(25.43) — (25.45) и (25.47) представляют класс решений. Частные случаи были опубликованы раньше [I. Robinson, J. Robinson
(1969); Held (1974а)], ср. также (33.6).
25.2.4. Случай /=O
В двух предыдущих разделах был рассмотрен случай dj Ф0). В случае с?с/ = 0, т. е. если /=/(?), закон преобразования (25.27) означает, что координату % можно выбрать так, чтобы / равнялась нулю. Мы теперь возьмем эту калибровку и обсудим решения, ко-
255-
торые подчиняются условиям
^,и-О; L,u-dt\n0>=G&, б; I=U2-O1 G=0. (25.48)
Координатными преобразованиями, которые сохраняют (25.48), являются
C'=(AC + f,)/(AC + fc); W = UkiС. С)+ л(С. С). (25.49)
Вследствие вида (25.22) компонент тензора Вейля равенство т+\М=0 вместе с равенством I=O приводит к плоскому про-странству-времени. Поэтому мы должны предположить т-{-іМфО\ это исключает типы III, N и 0 по Петрову.
Процедура интегрирования уравнений поля следующая. Так как функция G=^cln Si—L,u подвергается неоднородному преобразованию в силу (25.27), ее всегда можно сделать не равной нулю. Уравнения (25.48) тогда интегрируются с помощью
G (С, C) = -lC + g(C)]-;
Li С, С, K) = (G + fcln#)iH-^-‘G/«;, С). (25.50)
Выразив таким образом условия (25.48), можно теперь обратиться к следующим трем уравнениям поля.
Первое уравнение поля (25.16) показывает, что сумма т+іМ не зависит от и и поэтому может быть записана как т+'\М=
=29aG*A(Z„ ?). Второе полевое уравнение (25.206) при этом дает
Л=Л(?),т. е.
т+-\М = 2<PGM (С). (25.51)
Используя эти результаты, последнее полевое уравнение (25.20в) можно записать в виде
Im [&<?< (AG - ^JV)] =0=(AG — Ш).к - (AG - Ш).& (25.52) Это есть в точности условие существования действительной функции В(%, f), такой, что
AG-MV=Bm. (25.53)
Так как V.u=!? и &,и=0, V имеет структуру V=!Pu+v(l?), где
V — произвольная действительная функция. Учитывая этот результат в уравнении (25.53) и используя (25.51), получаем
AG+ Gli = Btf+V д. (25.54)
Если выбрать V=—В, то (25.54) решается с помощью
/(С, Z)=- j A(C)Gd С)G-1 (С, С) Я+ /,(С). (25.55)
Чтобы получить явный вид метрики, необходимо указать функции Si (С, ?), Л (С), g(?) и /,(С). Из формул (25.50), (25.51) и (25.55) получаем функции L и m+iM, которые вместе с & дают всю информацию, необходимую для построения полной метрики в соответствии с (25.13). Так как координатным преобразованием (25.49) 9і
256
Можно привести к единице, указанные выше вакуумные решения содержат три произвольные аналитические функции. Вообще говоря, они не допускают вектора Киллинга.
Физически решения класса алгебраически специальных вакуумных решений с расширением, которые удовлетворяют условиям (25.48), можно охарактеризовать [Trim, Wainwright (1974)] как единственные решения, которые являются безызлучательными в том смысле, что тензор Вейля асимптотически (при больших г) ведет себя как
Если добавить к условиям (25.48) условие Liu=O1 то метрика становится не зависящей от и; \=ди есть вектор Киллинга. Можно показать [Trim, Wainwright (1974)], что вместо условия L,u=0 можно наложить эквивалентное условие Е,и=0. Подобно условию I=0 условие L1U=O не является инвариантным (строго говоря, условие состоит в том, что LlU можно приравнять нулю). Таким образом, координатные преобразования теперь ограничены следующими:
В силу (25.48) L u = O дает G = -(In^a)1C, которое совместимо с /=G2-GtI;= 0 только когда 5^,=0, т. е. для действительной Sb, только если
Уравнение (25.58) показывает, что двумерное пространство имеет постоянную кривизну /С=2(аб—Pfj).
Вместо (25.50), (25.51) и (25.55) составляющие части метрики даются теперь формулой (25.58) и
(заметим, что мы выбрали калибровку с G=—(а?+Р)/^1=TfcO, так что в случае K=O нужно брать_^ с а или P=TfcO). Решения содержат произвольные функции Z(?) и Zi(S). Значение К может быть преобразовано к 0, ±1, a L можно упростить преобразованием u' = u + h(?, ?), L7=L—fi?, т. е. так, чтобы в L не содержались члены с т.
Частным случаем этих решений является класс m+iM=const. Он содержит некоторые из хорошо известных решений типа D, таких, как решения Керра и НУТ (см. ниже в § 25.5), а также четырехпараметрическое (т,М,а,с) решение Керра — Дебни [Kerr, Debney (1970)], Демяньского [Demianski (1972)], которое соот-
17—99 257
СObcd=Uabcd/г3+О (г4) .
(25.56)
25.2.5. Случай /=0=L,U
^ = f(0 = (AC+ 7,)/(+ ft); и' = А,и + Л(С, С). (25.57;
(25.58)
m+iAf = Z(C);
(25.59)
ветствует
I=-Iiljf---1* (w + g)-------iiLin—jU. (25.60)
,3,.25 ^.г 4^.! Y2 '
Для m=const, M=O решения (25.58), (25.59) сужаются до класса вакуумных решений Керра —Шилда (см. § 28.2), который можно охарактеризовать как дду=0, или, в калибровке &=\, как <51=0.
25.2.6. Решения, не зависящие от ? и ?
Следуя Уэйру и Керру [Weir, Cerr (1977)], выбираем координаты так, чтобы &>=1 и предполагаем, что в этой системе функции, входящие в метрику, не зависят от ? и ?. Полевое уравнение (25.216) при этом имеет вид:
—Ldu(m+iM)=3(m+iM)L,u
(так как д=—Ldv) и интегрируется с помощью
