Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (26.18), (26.19) обобщают вакуумные уравнения (25.15), (25.16), так же как и уравнения Эйнштейна — Максвелла
(24.36), на случай, когда присутствует вращение. Чтобы достичь согласованности обозначений со случаем, когда нет вращения, надо положить
ф°1=$/2; W2=-Ph. (26.20)
Подробные выражения для ненулевых компонент тензора Вейля можно найти в работе [Trim, Wainright (1974)]. Здесь только заметим, что они имеют следующую структуру:
?t = (m+iM)p5 + KeQQpp72;
V1 = + 0(р*); Ir4= S6W+ 0(р*);
/ = d (д In 9 - LJ + (д In 9 -1J* = & -1 (Ш)^, (26.21)
где члены более высокого порядка по р, появляющиеся в 1F3 или 1F4, обращаются в нуль тождественно, если 1F2 или 1F2 и 1F3 соответственно равны нулю.
26.4. Заряженные вакуумные метрики
При рассмотрении полевых уравнений (26.19) сразу видно, что они сводятся к вакуумному случаю, если отсутствует какое-либо поле свободного излучения, т. е. если выполняется
Ф*,=0; Ф0, = ^, С, и)12. (26.22)
266
этом случае уравнения Максвелла (26.18) дают
Q = ^(С, Х)&>3 (26.23)
и (в калибровке Р,и=0)
SP3 [<?с — 2(L u — dt. In Sa)] ? = 0. (26.24)
Так как q и 5а не зависят от и, то же самое справедливо для L,и—дс In &, т. е. как следствие уравнений Максвелла получаем
I11-(? In^=G (С. С); 5% = 0. (26.25)
Это условие совпадает с предположением (25.29), которое было сделано в вакуумном случае, чтобы получить специальные классы решений (ср. с § 25.2.1). Таким образом, доказано следующее обобщение теоремы 24.5 (для полей Эйнштейна — Максвелла класса Робинсона — Траутмана):
Теорема 26.2. Все поля Эйнштейна — Максвелла (случай кол-линеарных векторов), допускающие расширяющуюся, бессдвиговую, геодезическую изотропную конгруэнцию с безызлучательным (Ф°2=0) полем Максвелла даются выражениями
ds*=ds\ - -Її- QQpp (du + LdC + ZdC)’;
Q = a(C)5°2exp(2 jG(C.C)dC) ;
O1 = Qpj/2, Ф, = -L (2LtU-di) Q + IS3P3Q (2ІВ-Й), (26.26)
где ds2o есть алгебраически специальная вакуумная метрика, подчиняющаяся условиям (26.25), а а(?)—произвольная функция [Robinson е. а. (1969b); Trim, Wainwright (1974)].
В § 25.2 был дан обзор всех известных точных вакуумных решений, которые удовлетворяют приведенным выше условиям [и сверх того, (m+iM),u=0]. В тех случаях, которые там рассматриваются, комплексный (электрический плюс магнитный) заряд Q выражается следующим образом:
Q (C) = a (С) при Lu = 0; (26.27)
Q (С, С) = а (I) SbtG3 при / = 0. (26.28)
Сюда входят частные случаи: решение Райснера — Вейля
(13.21), заряженные решения НУТ и Керра — Шилда и т. д. Заметим, что заряженная С-метрика (19.17) и ее обобщение на случай вращения, отличного от нуля, не отвечают условиям теоремы
26.2, так как в обоих случаях поле Максвелла содержит поле чистого ИЗЛучеНИЯ (?^2=7^0).
Поля Эйнштейна — Максвелла, отвечающие условию (26.28), вместе с метрикой (26.26) являются безызлучательными полями в том смысле, что тензоры Вейля и Максвелла не содержат членов
267
порядка г~п, где n< 3 и n<2 соответственно [Trim, Wainwright
(1974)]. Решения, которые, кроме того, являются регулярными и стационарными, принадлежат к типу D [Lind (1975а,b), Held (1976а)].
26.5. Замечания относительно решений других типов по Петрову
Известно несколько полей Эйнштейна — Максвелла типа D, зависящих от (не более шести) произвольных параметров. Большая часть этих решений содержится в решении Плебаньского— Де-мяньского (которое также включает некоторые метрики типа 0 по Петрову); подробное обсуждение см. в § 19.1.2. В дополнение к заряженным метрикам Керра — НУТ, отвечающим условиям теоремы 26.2, известна также заряженная С-метрика, имеющая вращение, отличное от нуля. Свойством всех решений, принадлежащих классу Плебаньского — Демяньского, является то, что оба изотропных собственных вектора поля Максвелла являются (кратными) собственными векторами тензора Вейля [Debever (1976); Leroy (1978)]. Кроме этих решений, еще одно решение типа D можно построить с помощью теоремы 26.2, а именно [Leroy
(1978)]:
ds8 = 2tfЬЙ/рр - 2 (du + LdC + LdC) [dr + QQpp (du + LdC + IdC)J ;
(26.29)
L= І2С; Q = C'3e'6; b, S= const.
Эта метрика является обобщением на случай вращения поля Эйнштейна-Максвелла (24.44) в частном случае т=0; соответствующее вакуумное решение является плоским. Для метрики (26.29) только один собственный вектор поля Максвелла совпадает с собственным вектором тензора Вейля.
Сравнивая перечень известных полей Эйнштейна — Максвелла типа D с вращением (и расширением), с исчерпывающим перечнем вакуумных решений типа D с вращением или решений Эйнштейна— Максвелла без вращения, видим, что каждому решению без вращения, или вакуумному решению, отвечает заряженное решение с вращением. Какое-либо неизвестное поле Эйнштейна — Максвелла типа D нельзя получить из вакуумных решений простым добавлением заряда в смысле теоремы 26.2: т. е. они должны быть излучательными.
Что касается полей Эйнштейна — Максвелла типа N (или 0), то рассмотрение структуры (26.21) тензора Вейля показывает, что 1F2=1IfS=O означает Ф°і=0=т+Ш и д1=0. Ho при этих предположениях уравнение поля (26.196) дает ф°2=0; так что поле Максвелла вообще отсутствует. Так как для всех полей Эйнштейна— Максвелла типа N (или 0) в случае коллинеарных векторов должно выполняться H=O=0 (ср. с § 7.5), то приходим к теореме
