Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Поля Эйнштейна — Максвелла класса Кундта, которые также являются метриками Керра — Шилда (см. § 28.3), принадлежат к типу N по Петрову; электромагнитное поле в этом случае изотропно [Debney (1973, 1974)].
Cm.-. [Wyman, Trollope (1965)].
27.7. Неизотропные поля Эйнштейна — Максвелла
Неизотропные поля Эйнштейна — Максвелла без расширения (р=0) типа N (случай коллинеарных векторов) полностью известны [Cahen, Leroy (1965, 1966); Szekeres (1966b) ]. Этот класс решений получаем, полагая
2SP2 (In SP) _ = K-, H = -j- V2 + G0 (и) у + Я0; W = - F с; (27.46) F _+-*-F = 0; F+ ? = -?-(In Пи; F = F(Z, С, и);
Фо = Ф,=0; Н* - + K2SP-2FF = KWW,
в метрике (27.7); гауссова кривизна К волновых поверхностей — (ненулевая) константа. Решение Бертотти — Робинсона (10.16) (конформно-плоское)
ds' = 2d.UZ (l + А к j"* _ 2dudv - Kv2du* (27.47)
содержится в (27.46) как частный случай (F=G0=H0=0).
Для решений типа III W,v равно нулю. Это сейчас будет доказано. [То же самое справедливо для решений типа N общего вида
(27.46).]
283
Теорема 27.3. В неизотропном случае (Фі?=0) не существует полей Эйнштейна — Максвелла типа III с W,v^0.
Доказательство. Подставляя 0п из полевого уравнения #п=0 в условие для типа III 1F2=O, получаем
[1п(Г.о^/Г,„)]д=0, (27.48)
если W „ф0. Это уравнение означает
^tWt0 = WtJd и) = W J (С, u)f(Z, UjiSPi (In Sa) -=Q. (27.49)
Тогда полевое уравнение Zif12 = 2х0Ф,Ф, приводит к Ф,=0.
Для Wt о=0 получаем (из =2x/Jvt>, и Ф, =F (С, и) дифференциальное уравнение
&г (In&)'сГ¦=X01F(С, и) I2 (27.50)
(уравнение Лиувилля), которое имеет общее решение
Sas=XjFf (1 +/»* ; f=f(C, и), (27.51)
Uf1 г
содержащее произвольную функцию f(?, и). Асьян и Плебаньский [Hacyan, Plebanski (1975)] исследовали частный случай W=O. Функции ф°2, G0, H0 в
Ф, = F (С, и); Ф2 = SaF -и 4- Ф\;
(27.52)
H = XiFFv2 + G0V + Я",
где 9> определяется выражением (27.51), должны удовлетворять остальным уравнениям Эйнштейна — Максвелла, т. е.
(Ф с =(FI^2)til-,
[Cr® +(In SP), „] { = 2%0F&JSP\ (27.53)
SaW _ + G0 (In SP)' и + (In ЯР)' ии - (In SP)\ и = х0Ф°аФ°2. Очевидно, что частное решение определяется выражением ds1 = 2<KdC/(l + fff + 2du [dv + (f'J'v2 + W) du\\
j/х.Ф, =7'; = (1+ ff) F'v;
H11- = O-, f=f(Q; f'=f^ = V^F. (27.54)
Как следует из (27.28), эта метрика принадлежит к типу III по Петрову, если }"Ф0. Электромагнитное поле определено с точностью до постоянного дуального вращения. Другие частные решения (28.53) даны Асьяном и Плебаньским (1975). Общим свойством решений типа III (случай коллинеарных векторов) является то, что второе собственное направление электромагнитного
284
неизотропного поля непараллельно невырожденному главному изотропному направлению тензора Вейля.
Класс полей Эйнштейна — Максвелла типа D можно получить из общего вакуумного класса типа D (27.41) простым видоизменением функции 3а, так что
^ ~ k(g* — 1г) + 2тг — е1' (27.55)
при этом остальная часть метрики остается неизменной. Тетрадными компонентами тензора электромагнитного поля являются
Фо=^;
V 2и„ Ф, V *0фг = ~
(1-і/)2 '
(27.56).
2 еги
T (аг — і/)2 (лг2 -h i/a)
Два изотропных собственных направления поля Максвелла совпадают с собственными направлениями тензора Вейля типа D. Как и их незаряженные аналоги (27.41), эти решения допускают группу движений Gi на T3 [ср. с (11.42)]. В противоположность вакуумному случаю этот класс не исчерпывает всех решений типа D: он не содержит, например, поля Эйнштейна — Максвелла,
полученного Ковальчиньским и Плебаньским [Kowalczynski,
Plebanski (1977)]:
ds5[ (?-)'+кчУ* + [Tj - B*df] • (‘27-57>
A2 = — 2e*x* -)- cx3 — ax*\ Bt = az2 -)- b,
где a, b, c, e — константы.
Процедура получения новых решений из уже известных работает здесь так же, как и в случае вакуумных полей (см. теорему 27.1).
Глава 28
Метрики Керра — Шилда
28.1. Общие свойства метрик Керра — Шилда
28.1.1. Возникновение метрического соответствия Керра—Шилда—Траутмана
В общей теории относительности полевые уравнения часто упрощаются, если рассматривать поля изотропного вектора. Важным случаем является подход Керра — Шилда, когда предполага-
285
ется, что метрика имеет вид
gab=r\ab—2Vkakb, (28.1)
где Tjo6 — метрика Минковского; V — скалярная функция; ka— изотропный вектор относительно обеих метрик gab и Г|вь:
gabk°kb=r\abkakb=0. (28.2)
Метрическое соответствие (28.1), (28.2) впервые было изучено Траутманом [Trautman (1962)]. Его идея состояла в том, что в решении, представляющем волновое движение, должна содержаться возможность распространения информации. Этого можно достичь, если такое решение зависит от произвольной функции. Траутман применил эту идею к случаю, когда как ковариантные, так и контравариантные компоненты метрического тензора зависят линейно от одной и той же функции V координат
gab = -Па: - 2Wu; gah = Tlab + 2VLa". (28.3)
Из тождества gadgdc=gac следуют соотношения:
Laf—r\adr\cfhcd; LadHdc=0. (28.4)
