Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф, = PMj01; Фг = рФ°2 + ^(РФ0,), РФ0, = ДФ°2 = 0; (28.56)
у=4~^(р+^)+*°ф°^0>рр‘- d^=O. (28-57)
Оставшиеся уравнения Максвелла и уравнения Эйнштейна выражаются через четыре неизвестные функции М, Ф°і и Ф°2 следующим образом:
ОФ\ = ДФ°а = 0; 8Ф°, - 2рр - ЧФ\ = 0;
(28.58)
дф», _ хр-Зфо, -^cp-W1 =Tp-1O02 - p-W2
и
DM = DV= "8^=0;
8М - Mpp - Ч = 2^0,*^;
(28.59)
Ш - ^p- 1S Ж — tp-'F M=z — х0Ф\Ф\.
Общее решение этой системы до сих пор не известно. Дебни и др. [Debney е. а. (1969)] дали полное решение в случае, когда на электромагнитное поле наложено условие
Ф°2=0. (28.60)
Их решение имеет вид:
ds1 = 2 (dtdZ- dudv)+ $>~3 [т (р + р) -
— ^VW^-'ptf JftdC + V& + VVdv + du]\ (28.61)
Как и в вакуумном случае, р и 9і определяются из (28.45) —
(28.47), а Ф и 1F — произвольные (аналитические) функции Решения допускают вектор Киллинга (28.48) (ср. также теорему 26.2!). Случай V=O дает вакуумное решение (28.45).
Специальный выбор
Sa = 2—1/2 (IJrVV)', ® = -iaV\ V = e (28.62)
приводит к полю вращающегося заряженного тела, которое впервые было получено Ньюменом и др. [Newman е. а. (1965)] (ср. с § 19.1.3). Используя специальные изотропные координаты
V5l = x+iy\ V2t=x ~iy; V2u=t-z; J/2d = / + z,
295
получаем метрику и электромагнитное поле в виде
Cfs8 = dx* -f dy' + dz* — dt8 -f- JlC \^t -f -J- Л +
+ JTftf (xdx + УЛУ) ~ JTjTtf (xdy - ydx)^; (28.63)
(Fxt - 'Руг\ Pyt - і?гх-, Fzt - 'lpXg) = ег* (г8 + і az) -1 (х, у, Z + і а), где функция г определяется с помощью неявного соотношения
(*2+02)('*+a2)-1+zV-2==l. (28.64)
Положив в (28.63) е=0, опять получаем решение Керра (28.49).
28.3.2. Случай р=—(0+iw)=O
Решения без расширения были подробно рассмотрены в гл. 27 (класс Кундта). В § 27.1 было показано: р=0 означает, что вектор к является кратным главным изотропным направлением как тензора Вейля, так и тензора электромагнитного поля и не имеет сдвига.
Электромагнитные решения класса Керра — Шилда без расширения были рассмотрены впервые Бяласом (Bialas (1963)] и позднее Дебни [Debney (1974) также предполагавшими, что к — геодезическая изотропная конгруэнция. Все эти решения принадлежат классу Кундта.
Выбирая базис (28.33), находим вид ненулевых коэффициентов связности
г,33 = SV - VAf-, Г143 = - Af- Г43> = DV. (28.65)
Векторные поля (еь е2, ej, е4) подчиняются коммутационным соотношениям
[еь еа] = [еь е«] =* [е2, е4] =0.
Отличные от нуля коэффициенты Ньюмена — Пенроуза и компоненты тензоров Вейля и Риччи имеют вид:
2у=DV; v = bV-VAf, *= Af-,
(28.66)
Rii = 2х0ФД; ЧГ4 = 88 V - 28VA^.
Единственной ненулевой компонентой тензора электромагнитного поля является Ф2.
Теорема 28.7 [Debney (1974)]. Все свободные от источников поля Эйнштейна — Максвелла класса Керра — Шилда с нерасши-ряющейся (геодезической) изотропной конгруэнцией к принадлежат к типу N (или О) по Петрову. Вектор к является как бессдви-говым четырехкратно вырожденным главным изотропным направлением тензора Вейля, так и главным изотропным направлением поля Максвелла. Электромагнитное поле является изотропным.
296
Уравнения Эйнштейна — Максвелла для полей Керра — Шилда без расширения в силу этих результатов приводятся к виду
DiV = 0; DbV-^DV = O;
SSV - Wbf - 8УД^ = х2фД;
(28.67)
?>Ф2 = 0; 8Ф2 - Д^Ф, = 0; = S^ = D^ = O.
Для решения полевых уравнений координаты z = C + g<o; Z=T + ^o;
(28.68)
и' = „+^С+2«+У^0; о'=о
более удобны, чем старая система координат ?, ?, и, о. В новых координатах дуальный базис (28.33) и тетрадный базис имеют вид:
w’ = ws=dz —r_Ioxdu'; <а3 = r~'du’;
(O4 = A-Ydu'+ dv; г = [I - z - ^ z]-1; (28.69)
rd^/du = = х;
е, = дг; е2 =<?_; е3=о[і(?г + т(?_]+г(? — Vdv, e4 = dv. (28.70)
Z 2 м
Уравнения поля легко решаются в новых координатах. Они имеют вид:
V00 = O; Ф,., = 0; V- e = V. V0^ = O; (28.71а)
Ф _ — хФ2 = 0; V_ — V T-V-X = х.Ф.Ф., (28.716)
2, г ,гг ’ ,z
где 6W=6V (и!).
Из уравнений (28.71а) получаем
Ф2=Ф2(г, Z1 и’)\ V = ora(«') + g(z, z, и’), (28.72)
где а(и') и g{z, г, и') —действительные функции. С помощью координатного преобразования можно получить а(ы') — 0 [Debney (1974)]. Тогда электромагнитное решение Керра — Шилда, допускающее геодезическую, бессдвиговую и не имеющую расширения изотропную конгруэнцию, принимает вид
ds2=2(dz—v°ydu') (dz—v<ydu') —
—2 r-1(gr~1du'-{-dv)du'. (28.73)
Оставшиеся уравнения поля (28.716) накладывают ограничения на электромагнитное поле и действительную функцию g(z, z, и') в виде уравнений:
(г-'Ф^ _ = °; (r~lg)' -=*/-’<»&. (28.74)
297
Вектор к является изотропным вектором Киллинга (см. § 21.4)
в том и только том случае, если коэффициент вращения х=г<у равен нулю. В этом случае изотропный вектор ковариантно постоянен; все решения этого типа — плоские гравитационные волны (см. § 21.5). Чтобы получить все решения в общем случае т^О, необходимо решить двумерное уравнение Пуассона (28.74).
28.4. Применение подхода Керра — Шилда к полям чистого
