Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
<а‘ = + ^dS -j- do -j- du, (28.39)
где *У (и, V, ?, ?) определяется неявно из (28.38) с произвольным F [Сох, Flaherty (1976)].
Чтобы получить явно все метрики Керра — Шилда частного вида, необходимо решить уравнения Ньюмена — Пенроуза. Используя базис (28.33), находим, что следующие уравнения Ньюмена — Пенроуза уже удовлетворены:
Dp = р*; Dv = хр; 8х = х*;
(28.40)
8р = (р — р) х; 8т — Др = хх -|- Vp*.
Уравнениями Ньюмена — Пенроуза, которые действительно необходимо решать, являются
DtV = 2 (р + р) DV - 2Vpp"--L R,
(28.41)
(Р + р) DV - К (р* + р*) = -J- R + 2Ф„;
б7=т(ц+ї) + фі2.
6v—А (і—и2—(y+Y)^—TV=O22. (28.42)
Оставшиеся уравнения Ньюмена — Пенроуза определяют неисчезающие компоненты тензора Вейля, а именно
ЧГг=}ьр-|-Y (р — р) H—24
(28.43)
frj = 8T-(-pv — ху; 1P4 = 8v — XV.
Уравнения Ньюмена — Пенроуза (28.41) можно сразу же решить в случае равного нулю скаляра Риччи (R=0). Решение есть
V = -i-Jff(P + P) + Spp; ?,,=3?*?;
(28.44)
DM=DB = 0,
где ІЙ и В — действительные функции. До тех пор пока R=0, остается решать только (28.42).
28.2. Применение подхода Керра — Шилда к полевым уравнениям Эйнштейна в случае вакуума
28.2.1. Случай р=—(в+і©)#0
Общее решение Керра — Шилда уравнений Эйнштейна в случае вакуума было найдено Керром и Шилдом [Kerr, Shild (1965, 1967)] . Чтобы получить конечный результат из оставшихся поле-292
вых уравнений (28.42), требуются сложные вычисления. Подробности см. в работе [Debney е. а. (1969)] и в § 28.3.1. Решениями являются
ds1 = 2 (dtdC- dudv) + mSP~3 (р + р) [du + fdt + fd? + f fdv ]*;
(28.45)
® -=Pfy- + qf + ч f + с,
где т, р, с (действительные) и q (комплексная) —постоянные. Функция ^ определяется неявным выражением
ф (f) + (qf+ с) (С + fv) - (pf + q) (и + fl) =0, (28.46)
где Ф(^)—произвольная аналитическая функция комплексной
переменной <у. Комплексное расширение изотропного вектора к определяется с помощью
P = - SP [{Ф + (qf+ с) (С + fv) - (pf + q)(u + f С» (28.47
Решения имеют следующие свойства.
1. Все они относятся к алгебраически специальным, к является кратным главным изотропным направлением тензора Вейля. Таким образом, к — геодезический и бессдвиговый вектор.
2. Все решения допускают, по крайней мере, однопараметрическую группу движений с вектором Киллинга
I=CduAr qdr + qd^ + pdv, (28.48)
который одновременно является вектором Киллинга плоского пространства-времени. Решения можно упростить с помощью преобразования Лоренца. Можно, таким образом, предположить, что если
<о, то & УЪ=\+У-?\ если TO SPV2=\-y-f
если т)аь^й = 0, то Sa = I.
3. Точки (S1P-1) =0 являются сингулярностями в римановом пространстве. В общем случае — многозначная функция с точками ветвления в этих сингулярностях.
4. Частный случай Ф = —\а°Ц, р = с=2~1/2 приводит к решению Керра (18.25). Его форма Керра —Шилда есть [где г дается выражением (х2-\-у2) (г2+а2)_!+22т~2=1]
ds•=dx1 + dy2 + dzг- dt1 + -,-2^3 [dt + -J- dz +
+ (xdx + ydy)— TTjTtf Wy — ydx)Y> (28-49)
293
двукратным изотропным вектором Дебеве — Пенроуза является ** = 2'/2TTi [dt jTjTdz + (xdx + УаУ) -
— TrTar ^xdy - ydx^) = ~ KdXt. (28.50)
Другие характеристики вакуумных решений Керра — Шилда см. в § 25.2.5.
28.2.2. Случай р= —(0-(-iw) =0
Случай нерасширяющейся и невращающейся конгруэнции к в метрике Керра — Шилда был рассмотрен в работах [Trautman
(1962); Urbantke (1972); Debney (1973)]. Их результаты объединяются следующей теоремой.
Теорема 28.6. Вакуумные поля Керра — Шилда с нерасширяющейся и невращающейся изотропной конгруэнцией являются плоскими гравитационными волнами (см. § 21.5) и наоборот.
28.3. Применение подхода Керра — Шилда к уравнениям Эйнштейна — Максвелла
28.3.1. Случай р=— (в+нй)?М)
Электромагнитные решения типа Керра — Шилда были изучены Дебни и др. [Debney е. а. (1969)], также предполагавших, что изотропный вектор к — геодезический. Благодаря теореме 28.1 тензор энергии-импульса электромагнитного поля удовлетворяет условиям
ka-bkb=о-*—*-Tabkakb=0-«—^Fabka=Kkb- (28.51)
Следовательно, к является главным изотропным направлением Fab, в том и только том случае, если к — геодезический вектор. Пространство-время является алгебраически специальным с вектором к в качестве кратного главного изотропного направления. Тензор энергии-импульса подчиняется (28.25), а тождества Бианки означают, что изотропный вектор к — бессдвиговый. Таким образом, все результаты из § 28.1.5 справедливы и в случае электромагнитного поля (см. также гл. 26).
Результат (28.51) означает, что тетрадные компоненты тензора Максвелла Фі и Ф2 — единственные отличные от нуля:
Фі=2-iFabikJb+ ТПаШь), (28.52)
Q2=FabfhaIb, Ф0=0.
Поэтому полевые уравнения имеют вид:
/? і2=^?з4=2»<оФі Фі ; (28.53)
i?13=2Xo®l®2, #33=2^0^2^2,
а уравнения Максвелла (7.46)—(7.49) записываются в форме
?>Ф,—2рФі=0; 6Ф,—2тФі=0; (28.54)
—бФ2+АФі+2КрФі+тФ2=0; 6Фі—0®24*p®2=0. (28.55)
294
Используя (28.40) и коммутационные соотношения (7.55) — (7.58), полевые уравнения (28.53) — (28.55) можно частично проинтегрировать. В результате имеем:
