Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Л0=/-1 (ха—уа)
(28.21)
с изотропным вектором в метрике Керра — Шилда (28.1), (28.2);
получим
Здесь введено запаздывающее расстояние г=Ха(ха—уа). Изотропная конгруэнция, определяемая (28.21), является бессдвиговой, геодезической и не имеющей вращения как в метрике Минковско-
го Лоб, так и в метрике Керра — Шилда gab. Чтобы найти тензор энергии-импульса для метрики Керра — Шилда (28.22), необходимы тождества
(Точка означает d/du, a ItcX0 можно интерпретировать как ускорение частицы в точке Q в направлении па, см. рис. 28.1.)
Частный вид скалярной функции —^(и)/—2^ при-
водит с помощью соотношений (28.17) — (28.22) к тензору энергии-импульса
Решения Керра — Шилда (28.23) содержат 1) решение Шварц-
щейся звезды Вайдья (13.20) при е=0, т=т(и), Xckc=0; 3) решение Райснера — Нордстрема (13.21) при e=const, m=const, Xckc=0; 4) решение фотонной ракеты Киннерсли при е=0, т= = т(и), Хсксф0 [Kinnersley (1969а)]; 5) общий случай при
g?b=v\ab-\-2Vr-2(xa—уа) (х6—уь).
(28.22)
Рис. 28.1. Геодезический и бессдвнговый вектор k и мировая линия произвольной частицы в плоском пространстве-вре-
мени
ka,b = r~' Naft - Kh - Va ~ KK (1 + rK^)]
И
г b — kb (1 -)- г&с1?) -|- Xb
шильда (13.19) при е=0, m=const, Xckc=0; 2) решение светя-
е=е(и), т=т(и); ХсксФ0.
19—99
289
28.1.5. Формализм Ньюмена— Пенроуза для бессдвиговой и геодезической метрики Керра — Шилда
При решении полевых уравнений формализм Ньюмена — Пенроуза более удобен, чем прямая процедура, описанна_я в § 28.1.2. В этом разделе вектор к в изотропной тетраде (m, m, 1, к) является изотропным вектором метрики Керра — Шилда (28.1), (28.2); все цифровые индексы являются тетрадными.
Следуя [Debever (1974)], будем рассматривать только те из пространств-времен Керра — Шилда, которые допускают геодезическую, расширяющуюся и бессдвиговую изотропную конгруэнцию с касательным вектором к
X=Ci=O; Гиг=—р=9+і©^=0 (28.24)
и имеют тензор Риччи, удовлетворяющий соотношениям
#44=^41=^11=^22=0. (28.25)
(Этот вид тензорой Риччи является достаточно общим для большего числа приложений подхода Керра — Шилда.) Как и в § 23.1, из
(28.24), (28.25) и равенства 1Fo=^Fi=O (теорема 28.3) показывается, что
T41=Pw2-Hw8 (28.26)
можно записать в виде
(28.27)
Отличие от § 23.1 состоит в том, что т может быть ненулевым,
а 9і преобразовано к единице. Сравнивая (28.26) и (28.27) видим,
что выполняются соотношения
Df = 0; Щ- =0; 8^ = р^=0; Af = х. (28.28)
Используя коммутационные соотношения и уравнения Ньюмена— Пенроуза, находим, что е и_Р равны нулю. Изотропный поворот k'=k; m'=m + 5k; \'=\ + Вт+Бт + ВВк сохраняет соотношения х=<х=е=Р=0 и может быть использован, чтобы добиться обращения а в нуль, что всегда возможно, поскольку а'=а+5р и р=й=0. Как следует из уравнений Ньюмена — Пенроуза, коэффициент т также равен иулю. Таким образом, имеем
х=<т=е=Р=а=я=0. (28.29)
Ha этом этапе была доказана [Debever (1974)]
Теорема 28.4. Пространство-время является пространством-временем Керра — Шилда частного вида [определенного с помощью свойств (28.1), (28.2) и (28.24), (28.25)] в том и только том случае, если коэффициенты Ньюмена — Пенроуза можно преобразовать к
С
(28.30)
290
относительно выбранной подходящим образом изотропной тетрады.
Было дано подробное доказательство [Debever (1974)]. Основными этапами доказательства достаточности (28.30) являются:
а) с помощью уравнений Ньюмена — Пенроуза и коммутационных соотношений определяются оставшиеся коэффициенты Ньюмена— Пенроуза (ср. с § 7.1, 7.2). Результат имеет вид:
у = 2-1 (DV + V (р-р)); V = F^-VAT, Ji=Vp; (28.31)
б) решая первые уравнения Картана (2.74)
d(a' = ^ ою“ Д (со4 — Vd)3) = da1;
diO3 = f.+ X Л <¦>’; (28.32)
diо4 = V^ ао)“ Л (o’ + Vft а<оа Д ш1 + Vtв(о“ Д (О3,
находим дуальный базис
(О1 = Л + %dv; (02 = dC-f fdy; <о3 + + + du;
(о4 = V со3—j— dv. (28.33)
Соответствующая метрика ds2 = 2 (dttZ dudv) - 2V(fdt + %&-\- &fdv \- du)1, (28.34)
очевидно, является метрикой типа Керра — Шилда.
Если обратиться к интервалу (28.34), то изотропная конгруэнция
и* = - kadxa = fdZ + У-&+ %-fdv + du (28.35)
будет геодезической и бессдвиговой, только когда йЦ удовлетворяет (28.28). Так как
D = - (fd, + fdr - dv - <%?ди)-, (28.36)
A = V {fd, + fdT -dv- ^fdu) + ди\
8 = ^-34; 8 = dr-fdu, то эти условия принимают вид
W,,-??.u=o-, v.v-STt=o. (28-37)
Они указывают, что <У удовлетворяет уравнению
F (V. ІУ- + и, V fr + С) = 0, (28.38)
где F— произвольная функция, аналитическая по трем комплексным переменным %У-\-и и [Сох, Flaherty (1976)]. Изо-
тропная конгруэнция (28.35), геодезическая и бессдвиговая в пространстве-времени Керра — Шилда, является одновременно геодезической и бессдвиговой изотропной конгруэнцией в пространстве Минковского (см. выше). Отсюда следует
Теорема 28.5 (теорема Керра). Любая аналитическая zeode3u-ческая и 6eccdeuzoeaa изотропная конгруэнция в пространстве 19* 291
Минковского задается с помощью a>s=dv или
