Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
излучения
Были исследованы метрики Керра — Шилда с тензором энергии-импульса чистого излучения Tmn=Wkmkn [Kinnersley (1969а); Bonnor, Vaidya (1972); Vaidya (1973); Urbantke (1975); Herlt
(1979)]. В отличие от случая вакуумных полей или полей Эйнштейна — Максвелла геодезический изотропный вектор к не обязательно является бессдвиговым.
28.4.1. Случай р^О, (J=O
Этот случай был исследован Вайдья [Vaidya (1973, (1974)]. Опишем кратко переход от дуального базиса (28.33) и координат (?, ?, и, v) к более удобным терминам, в которых работал Вайдья.
После изотропного поворота (1 фиксировано) и специального преобразования Лоренца в (k, 1)-плоскости (28.33) преобразуется к
(Or = O)1 + P-1^y = ~9-'dT, о2'=W1'; о3'= 21/2(1+^)о3;
(28.75)
ю4' = 2-,/2(1 -Кпґ К + St.„Г1®*+P1 „Р"1®1+ (рPT1S*. ДУь
Здесь и далее выполнено условие р = 8^, а У- (С, С, и, у)—комплексная функция, определяющая изотропную конгруэнцию (28.35). Новые
координаты (а, {3, и, v) задаются с помощью
V = tg -7г е‘3; и = 2_1/2 [С sin ae~i? + !Tsin ае!? -f~
+ (и — v) cos a + и + о), V=V. (28.76)
Можно интерпретировать й как собственное время сигнала, передаваемого вдоль к. Наконец, две новые полевые функции U и W вводятся следующим образом;
[7 = 2-1/2 [Ceos ae-ls-f- С cos aei9-{-(i> — и) sin a]; (28.77)
W = i21/2 [Ce — Се1?[.
С помощью соотношений (28.28) и (28.36) и определения (28.76) можно доказать, что функции UnW зависят только от но-
298
вых координат й, а, 0:
U = U (а, р, и); W = W (а, р, и). (28.78)
Будем считать, что (28.78) определяет аир как функции координат (?, ?, й, v), если форма функций U и W уже известна. Используя это, с помощью не представляющих интереса вычислений приходим от условий геодезичности и бессдвиговости (28.37) к следующим двум дифференциальным уравнениям в частных производных для функций UnW:
UU WW ^ArU а — U Ctga-I- w arcs in а = 0; (28.79)
,'и *
— WU UW ^ — W а-|-W7 ctga-{- U arcsina = 0.
, o' , t? *
Вычисляя изотропную тетраду (28.75) в терминах новых координат и полевых функций, можно получить интервал пространства-времени Керра — Шилда в виде [Vaidya (1974)]
ds1 = (р2 + q2) {da2 -|- sin* ad'f) +
+ 23'2 (I + (kadxa) dt - 23/2 \(qU ^ + pW J da +
. U ,и
-\-(pU qW Jsmadfl(l-\-ff)-lkadxa-\-
,UtU
+ 2 [I -2q{p'+q2)-'M + U* Л + 1Г J (I +3^)-1 iKdxa)\ (28.80)
» U , U
где q и p означают
P = UW ^ + W q = UU „ + U'. + Z-t;
t u ,u
__1_
u = u(u, v, a; p); t = 2 2 (U-ArV), (28.81)
_3_
M связано с Af из (28.44) соотношением M = 2 2 (I -(- ff)3M, а I-форма kadxa, оказывается, имеет вид
- 21/2 (I -\-ff)kadxa=du~ Uda + W sin ad S. (28.82)
После не представляющих интереса вычислений оставшиеся уравнения поля сводятся к
#33=4(^ + ^)-(1+^)^ Л =х0Ф*; (28.83)
• U
M0 = O; M = M (а, р, и); (28.84)
UM _ + 3 MU _ + Ма = 0; WM „ + 3MW arcsina =0.
,и ,и ’ • и ,и ’ *
(28.85)
299
Так как Ф2(а, р, й)—произвольная положительная функция, то (28.83) является лишь определением
/?зз=и0Фа,
а не уравнением, которое необходимо проинтегрировать. Фактически уравнениями, которые должны быть проинтегрированы, чтобы получить три действительные полевые функции U, W, M (зависящие только от трех координат а, р, й), являются условия геодезич-ности и бессдвиговости (28.79) и два уравнения (28.85). Наиболее общее решение уравнений (28.79) может быть найдено с помощью теоремы 28.5. Оно имеет вид [П Herlt (1980)]:
^tg е,?(с/-ІГ+JTtg-^i « — tg -|-(f/ — ЇЦ7)] =0,
(28.86)
где F — произвольная аналитическая функция трех комплексных аргументов. Функции F и ЛЇ должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись уравнения поля (28.85).
Если изотропная конгруэнция к не имеет вращения (т. е. когда р=0, U=Q, UP=O), то M является произвольной функцией й.
В случае вращения условие интегрируемости (28.85) =
ведет
рМ ^+ъМр Л = 0, где P = UW _ + W а; (28.87)
.U ,U , U '
И
М={(а, р)/7-3. (28.88)
Если это подставить в (28.85), получим
f f~' = 3p-l[W JJ .-WU _+р +WiU_________________sina];
* Р щ U ip и , и и
f J-' = 3р ' \pa + Up PU J. (28.89)
’ I и , и
Функция f (до сих пор неизвестная) не должна зависеть от й. Поэтому должно выполняться следующее условие совместимости [Vaidya (1974)]:
[p~'(W JJ . -WU ^ + р +WiU_____________arcsin а)] л=0. (28.90)
. U ' Р , рн ' Р ,UU ,и
Суммируя все результаты, видим, что можно получить все поля Керра — Шилда, обладающие бессдвиговой, геодезической изотропной конгруэнцией с вращением, и тензор энергии-импульса чистого излучения, решая уравнение (28.90) и используя условие интегрируемости (28.89)f,?ia=f,a,r где функции UkW должны
одновременно удовлетворять неявному соотношению (28.86). Если функции U Vi W известны, то функции р и q находятся с помощью
300
дифференцирования [ср. с (28.81)], а функцию M можно получить из одномерного интеграла согласно (28.89) и (28.88).
В аксиально-симметричном случае
M 9 = ї/ р = Г?=0. (28.91)
известно наиболее общее бессдвиговое решение Керра — Шилда с вращением в случае чистого излучения. Оно имеет вид [? Herlt
