Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Это означает, что симметрическая матрица каь имеет следующую структуру:
Hab=VaIb=VbK-, (28.5)
TJ abVaVb= 1\аЬЬакь = Tlaft Valb = 0.
Два изотропных вектора Va и Ka должны быть параллельными, что приводит к метрическому соответствию (28.1), (28.2).
28.1.2. Тензор Риччи, тензор Римана и тнп по Петрову
Метрики Керра — Шилда были изучены несколькими авторами с использованием либо формализма Ньюмена — Пенроуза, либо с помощью более обычной процедуры. Начнем с ковариантной формы второго метода. Вычисления значительно упрощаются вследствие того, что 4-вектор к является изотропным.
Прежде всего заметим, что символы Кристоффеля и определитель метрического тензора (28.1), (28.2) удовлетворяют условиям
{ If } ^kf =0’ { jf} =0; (- g)T= I. (28.6)
Эти соотношения означают, что к имеет следующие свойства:
kax&=ka,cke', ka-ckc=ka,tkc\ (28.7)
{ I } К = (Vkakb\ ekc; > ka = - (Vkfkb)l ka. (28.8)
(Точка с запятой означает ковариантную производную относительно gab.) Вектор к является геодезическим ПО отношению К gab в том и только том случае, если он является геодезическим OTHO-
286
сительно ПЛОСКОЙ метрики Т]о6 И имеет одно и то же расширение по отношению к обеим метрикам:
2Q=kc-c=kc,c- (28.9)
Определение тензора Риччи вместе с соотношениями (28.6) —
(28.8) приводит к уравнению
Rbdkbkd=2Vgbd{kd-,aka) (kb,cfc)=x0Tbdkbkd. (28.10) Отсюда следует
Теорема 28.1. Изотропный вектор метрики Керра — Шилда является геодезическим в том и только том случае, если тензор энергии-импульса удовлетворяет условию
Tbdkbkd=0. (28.11)
Далее будем рассматривать тензоры энергии-импульса вида
(28.11). Геодезический изотропный вектор k (ka,bkb=0) имеет одинаковое вращение и сдвиг по отношению к обеим метрикам:
l^=kla.b]ka:b = k[aib]ka‘b-, (28.12) 20г + 2оа = А(а;6)^й = /г(а^й.
Тензор Риччи имеет простую структуру (D=k‘di) :
Rbd= (Vhkd)(Vtfikd) .4,6-
— (Vkakb);ad+2V (D2V) kbkd. (28.13)
Он подчиняется уравнению на собственные значения
Rcdkd=- [4ш2У+ (kaV,bkb) -,a\ kc (28.14)
Используя полевые уравнения, приходим к теореме:
Теорема 28.2. Геодезический изотропный вектор к метрики Керра— Шилда является собственным вектором тензора энергии-им-пульса.
Далее из определения тензора Римана получаем
^kaRabCd= (D2V) kbkd. (28.15)
Непосредственные вычисления приводят к главному результату этого раздела:
Теорема 28.3. Геодезический изотропный вектор к пространства-времени Керра — Шилда, подчиняющийся (28.11), является кратным главным изотропным направлением тензора Вейля; таким образом, пространство-время является алгебраически специальным,
Tabkak»=0----->ka,bkb=0^fckaCabcd=Hkbkd (28.16)
[Giirses, Giirsey (1974)]. Скаляр H выражается следующим обра-зом: H=D2V—-!r R-
О
287
28.1.3. Уравнения поля и тензор энергин-импульса
Уравнения поля пространства-времени Керра—Шилда, имеющего геодезический изотропный вектор к, принимают «линейный» вид [Giirses, Gflrsey (1974)]:
Hr (ГScd - ГYe - /Ye+-ncdgae), а,(28.17)
Этот результат следует из соотношений (28.7), (28.13). Каждое решение Керра — Шилда является решением линейных полевых уравнений (28.17). Обратное неверно, так как должны еще быть выполнены условия Керра —Шилда (28.1), (28.2).
Тетрадные компоненты S44 и S41 бесследовой части тензора Риччи, записанные с помощью комплексной изотропной тетрады {еа} = {ш, m, 1, к}, исчезают в силу теоремы 28.2. Обычно используют пространство-время Керра — Шилда, которое удовлетворяет дополнительному ограничению
Sabmamb=Su=0. (28.18)
Из рассматриваемых в книге типов тензора энергии-импульса при этом предположении возможен только следующий:
аь = —4~ Rgab ~Ь kak0 -(- {тать-J- тать -f- kalb -J- kbla). (28.19)
Формула (28.19) включает в себя 1) электромагнитные неизотропные поля (M=^=O), 2) поля чистого излучения (А,2=#=0). Распределение идеальной жидкости невозможно.
28.1.4. Геометрическая интерпретация подхода Керра — Шилда
Ньюмен и Унти (1963) ввели систему координат {*“}, привязанную к мировой линии уа(и) произвольной частицы в плоском пространстве-времени. Киннерсли и Уолкер [Kinnersley, Walker
(1970)], а также Боннор и Вайдья [Bonnor, Vaidya (1972)] использовали эту систему координат, чтобы найти решения для ускоренной частицы в общей теории относительности. Ограничимся здесь исследованием метрик Керра — Шилда, имеющих геодезическую, бессдвиговую изотропную конгруэнцию без вращения, следуя при этом работе [Bonnor, Vaidya (1972)].
Пусть уа(и)—мировая линия частицы в пространстве Мин-ковского; Ka=dya/du — ee единичный касательный вектор; и — собственное время частицы. Если P(Xa)—некоторое событие, то изотропный конус прошлого с вершиной в P будет пересекать уа(и) в единственной точке Q(ya) (рис. 28.1). Можно определить и вне мировой линии, положив U(P)=U(Q). Аналогично можно расширить область определения Ka, положив Ka(P)=Ka(Q). Изотропный конус в P и мировая линия пересекаются, когда
288
Т]аь(ха—Уа) (ХЬ—уЬ) =0,
(28.20)
что определяет и (Q). Отождествим изотропный вектор
