Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
268
Теорема 26.3. He существует невакуумных полей Эйнштейна—• Максвелла с отличным от нуля расширением (случай коллинеарных векторов) типа N или 0 по Петрову.
Вследствие этой теоремы поля Эйнштейна — Максвелла типа N относятся или к случаю неколлинеарных векторов (т. е. кратный изотропный собственный вектор тензора Вейля не является собственным вектором поля Максвелла), [ср. с § 22.1 и (22.5)], или они относятся к случаю коллинеарных векторов, когда расширение равно нулю (см. гл. 27).
Закончим этот раздел двумя замечаниями. Можно показать, что не существует регулярных полей Эйнштейна — Максвелла типа III с отличным от нуля расширением (в случае коллинеарных векторов). Единственными регулярными, геодезическими, бессдвиговы-ми, имеющими расширение безызлучательными полями являются решения Керра — Ньюмена [Lind (1975а)]. Все известные алгебраически специальные решения Эйнштейна — Максвелла, имеющие расширение и вращение (случай коллинеарных векторов), определяются метриками типа D, перечисленными выше, а заряженные метрики удовлетворяют условиям теоремы 26.2. Насколько известно авторам, не было опубликовано вообще никакого решения, которое соответствует чисто излучательному полю Максвелла (Фо= =0=Ф,).
26.6. Поля чистого излучения
26.6.1. Уравнения поля
Поля чистого излучения
Tmn = Wknkm, (26.30)
где к — геодезический, бессдвиговый кратный собственный вектор тензора Вейля, сходны с изотропными электромагнитными полями (Фо=Фі=0) в том смысле [так как Tmntn=0; km-,nkn=0; kn-n= ——(р+р)], что множитель Ф2 имеет такую же зависимость от р
Фа=лг(С, С, и) рр, (26.31)
как и соответствующее выражение 2ФгФг в случае электромагнитного поля. Отличие состоит в том, что для электромагнитного поля на n2=2P2hh наложено дополнительное ограничение (д—L,u)h—0. Заметим, что в случае полей Максвелла изотропное поле обязательно является геодезическим и бессдвиговым, а метрика должна быть алгебраически специальной (см. § 7.5), тогда как здесь мы только предполагаем эти свойства.
Из-за указанного сходства метрика поля чистого излучения имеет точно такую же форму, как и (26.14) Эйнштейна — Максвелла; при этом, конечно, Ф°1=0 (так что фактически она выглядит как вакуумное решение), а уравнения поля имеют вид:
(3L.„—д) (/n+iAf)=0; (26.32а)
M=Pz Im ддддУ=ЪК+Р2 Re[^S—2?,ud2 —ЪдидЦ (26.326)
269
и
P4(д—2L,u+2d In 0>)dI—&3l&>-3(m+iM)\,U=XonHL L и)/2-,
І=д(д In 9і—L,u) + (d In &>—L,u)2.
(26.33)
Поскольку n2(?, S. и)—произвольная (положительная) функция, уравнение (26.33) является, в сущности, только определением г?, а ие уравнением, которое необходимо проинтегрировать. Фактически полевыми уравнениями будут уравнения (26.32), те же самые, что и в вакуумном случае. Поэтому можно пытаться получить решения для поля излучения из вакуумных метрик (возможно плоских) простым изменением одной или более функций, входящих в метрику, чтобы при этом (26.32) оставалось выполненным, но (26.33) давало ненулевое п2. Перед тем как подробно обсудить эту идею, заметим, что все известные решения с вращением (и бессдвиговые) для поля чистого излучения были найдены или применением этой процедуры (см. ниже), или с помощью метрического соответствия Керра — Шилда (подробности и перечень решений см. в § 28.4). Когда вращение отсутствует, уравнения
(26.32) удовлетворяются тождественно, а (26.33) упрощается к виду (24.59) (см. § 24.3).
26.6.2. Получение решений в случае полей чистого излучения из вакуумных метрик с помощью изменения 9
При рассмотрении системы уравнений поля (26.32) задача облегчается, если ограничиться метриками, которые удовлетворяют (26.32а) тождественно в силу Liu=O=Af1 m=const. Если исходить из вакуумной метрики (или метрики чистого излучения) этого THfta (L0, 9я, tn°, Af0=O), оставляя L0, т° и M0 неизменными, но используя для 9> предположение Si-SiaA (?, ?, и), то остающееся полевое уравнение (26.326), т. е. Af=O, сводится к единственному линейному дифференциальному уравнению в частных производных для функции А. Непосредственные вычисления приводят к следующему результату [Stephani (1979)]:
Теорема 26.4. Если (L0, 9°, т°, Af0) есть алгебраически специальное вакуумное решение с ненулевым расширением, удовлетворяющее условиям
описывают поле чистого излучения, только если действительная функция А подчиняется условиям
L0,u=0; Af0=O; m°=const,
(26.34)
то
L=L0; Af=O; m=const; 9=9»А(%, ?, и) (26.35)
д (ГдА) 4- д (2°А4)=0; 2iS° = 0L° - <?L°);
S = d^-L°du.
(26.36)
270
Это новое решение имеет ненулевое вращение, если его имеет исходное, т. е. если S0=TfcO, и не является вакуумным, если
(д 2<?In Sa) д [&? In Sa + (Jin Sa)'] + ZmSb,up-* > 0. (26.37)
В случае Р,иф0 m всегда можно выбрать так, чтобы неравенство
(26.37) было справедливо, по крайней мере, в некоторой области пространства-времени.
Если искать вакуумные решения, удовлетворяющие условию
(26.34), то надо вернуться к двум классам, которые обсуждались в § 25.2.3 и 25.2.5. В обоих случаях не только L0, но также 3ю и S0 не зависят от и.
