Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(7.50) — (7.52) тензора Максвелла только
Ф, = ¦у Fab (Ьаї + тагИ’\- Фа = FJifn? (26.3)
могут быть ненулевыми (Фо должно равняться нулю) и б) что (поэтому) выполняются следующие уравнения:
Rn=Ru=Ru=O. (26.4)
Так как условия теоремы 23.1 удовлетворяются, можно интегрировать уравнения (26.4) с помощью (23.26), (23.27), т. е. с помощью
ds2 = 2 (O1O)1 — 2о)3о)4;
ю1 = — dVSP р = шг;
_ 1 (26.5)
to3=;du-fIdC + LdC;
ш4 = dr 4- WdC + Wdl + Яю3,
263
где (в калибровке г°=0)
p- = -(r + iS); 2i2 = $»(dL-dL);
W = p-'Lu + id*, д ^d,-Ldu. ‘ ;
Все функции, входящие в метрику, выражаются через г:
3і (Z С, и), I (С, Z, и) и Я (С, С, г, и)
(более подробно CM. в гл. 23).
Метрика (26.5), (26.6), конечно, должна удовлетворять оставшимся уравнениям Эйнштейна (26.1):
^?і2=^з4=2иоФіФі> (26.7)
/?13=2Xo®1®2- /?33=2>{o®2®2> (26.8)
а также уравнениям Максвелла (26.2). В близкой аналогии с вакуумным случаем (см. § 25.1) вычисления разбиваются на два этапа. На первом этапе полностью определяется радиальная зависимость метрики [т. е. в дополнение к (26.6) зависимость функции H] и поля Максвелла. На втором этапе оставшиеся полевые
уравнения (как Эйнштейна, так и Максвелла) сводятся к системе
дифференциальных уравнений_в частных производных для все еще не определенных функций ?, ?, и, которые входят в метрику и в электромагнитное поле.
26.2. Определение радиальной зависимости метрики и поля
Максвелла
В метрике (26.5) спиновые коэффициенты т, К, л, е, я и а исчезают (см. § 23.1.1), а Ф0 равно нулю по предположению. Таким образом, первая часть (7.46), (7.47) уравнений Максвелла имеет вид:
<?,Фі=2рФі; <?гФ2=рФ2—PQdQi-JrPpWdrQu (26.9)
С использованием (26.6) эти уравнения можно проинтегрировать, что дает _
ф1=р2фо1(е> и); ^ ^ (26.10а)
Ф2=рФ°, (С, C1 и) + р2^ (2LMQ\-dQ\)+2ip33b (SLu-^S)O10. (26.106)
Как и в случае, когда вращение отсутствует, можно полагать, что Ф°і и Ф°2 представляют соответственно заряд и поле чистого излучения.
Теперь можно решить полевые уравнения (26.7). Подставляя выражения (25.7) и (26.10а) для R3i и Фь получаем
Pa Г2 (Г„, +Г4|,)]14 = 2р (In Пи+2хоРУФ?Ф?. (26.11)
Это уравнение дает
Г21, + Г4„ = - (In + 2х,й*Ф\Ф\ + (т + ІЛІ) р» (26.12)
264
так как рц=р2) и, поскольку Г2із — чисто мнимая, а Г4зз равна H|4 можно определить H:
H = - г (In &)tU - (mr + MI - '(гг + I2) + К/2, (26.13)
где действительные функции т, M и К не зависят от г. После некоторых вычислений оказывается, что член, пропорциональный Ф°іФ°ь не входит в эти уравнения, которые в соответствии с уравнениями поля (26.7) выражают MnK через 5а и L. Поэтому можно взять M и К из (25.13); они являются теми же функционалами, что и в вакуумном случае.
Теорема 26.1 Поле Эйнштейна — Максвелла (алгебраически специальное) допускает геодезическую, бессдвиговую изотропную конгруэнцию к, имеющую расширение, и удовлетворяет уравнениям Rn=RliZ=R44=0 (случай коллинеарных векторов), Rl2=R3i-=2и0ФіФі и радиальной части (7.46), (7.47) уравнений Максвелла, только если метрика и электромагнитное поле имеют вид:
ds1 = 2dCdC '(Sa2PP) -2 (du + LdC + ZdC) X
X tdr +U7dC + IFdC + H (du + LdC + Ldl)\;
H = - г (In 3а) „ - (mr + МІ, - и0Ф\Ф0,) рр + K/2; p-* = -(r-f iS); 2\I = SF>*(dL-dL);
W = P-1L11+ idS; K= 23*г Re [<? (дIn Sa - L J;
M =IK+ .9* Re [<Й2 - 2LJI ~ ІдидЦ
и
ф,=р2фо,; ф2=рф°2+р2^(2?,и—д) Ф<\+ +2ір3^>(2:Г,„—<Э2)Ф°,
[Robinson е. a. (1969b); Trim, Wainwright (1974)].
Из уравнений (26.14), (26.15) видно, что все полевые функции можно построить из действительных функций &о и m и комплексных функций L, Ф°і, Ф°2, которые не зависят от г. Эти (до сих пор произвольные) функции ?, ? и и, конечно, подчиняются оставшимся полевым уравнениям, как эйнштейновским, так и максвелловским, которые теперь будут сформулированы. За сведениями о свободе в выборе координат и свойствах преобразования различных функций отсылаем читателя к § 25.1.4. Приведенные там трансформационные свойства необходимо дополнить следующими:
<1Pf=FfiF1; Qg = (K1P)WFfiJft. (26.16)
26.3. Оставшиеся уравнения поля
Вторая часть (7.48), (7.49) уравнений Максвелла, которые должны быть удовлетворены в дополнение к (26.9), имеет вид:
6Ф1=0, 6Ф2—АФ,—2р,Фі+2рФ2=0. (26.17)
265
(26.14)
(26.15)
Беря ц==—Г321 из (25.10) и подставляя 20=—(ЫР)и, а также выражения (26.14), (26.15) для метрики и поля Максвелла, прямыми вычислениями получаем простые уравнения:
(д—2А,„)Ф°і=0; (26.18а)
(д- ^и)(9-'Ф\) + (9-3Ф\)_и = 0. (26.186)
Два уравнения Эйнштейна (26.8), до сих пор не принятые во внимание, можно упростить способом, аналогичным использованному в вакуумном случае. Окончательный результат [Robinson е. a. (1969b); Lind (1974); Trim, Wainwright (1974)] имеет вид:
PibLtи—д) (m+Ш) =2и0Ф°і Ф°2; (26.19а)
Р*(д—2^и—2д In Р)д[д(д In P-Ltu) + (д In Р—Е,и)2] —
-P3 [^(т+Ш) ] ,и=и0Ф^Ф02; (26.196)
P-3M=Im (ddddV); V,U=P. (26.19в)
Пять уравнений (26.18), (26.19) образуют систему дифференциальных уравнений, в частных производных для функций Р, т (действительных) и L, Ф°ь Ф°2 (комплексных). Если решение найдено, то полная метрика и поле Максвелла можно получить из (26.3), (26.14) и (26.15). Различные формы полевых уравнений легко можно вывести из (25.20) и (25.21).
