Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 8—99 273
жидкости нарушают условие Rabkakb=0, если не выполняется р + ц = 0.
Кундт [Kundt (1961)] первым начал изучать класс решений с р=0 (для вакуума и тензора эиергии-импульса вида Таь= =Wkakb). Класс решений, допускающих нерасширяющуюся изотропную конгруэнцию без вращения, называется поэтому классом Кундта.
Cm.: [Kundt, Triimper (1962); Kundt (1962)].
27.2. Интервал для метрик с в+ію=0
В качестве изотропного векторного поля без вращения можно выбрать градиентное поле, при этом координаты и и v естественно вводятся следующим образом:
е4 = k‘di=dv, о3 = —k4*(27.4)
Вследствие (27.4) интервал имеет вид [Kundt (1961)]:
ds2=gABdxAdxB—2du(dv-)-mAdxA-j-Hdu); A, B=1, 2. (27.5)
В качестве координат на изотропных гиперповерхностях и= =const используем аффинный параметр v и две пространственноподобные координаты Jt1, Jt2; спиновые коэффициенты р и а при этом имеют вид:
О = - KbTnaTnb = -gihjnlmf = - -J- gAB„mAm
і Arn В
(27.6)
Следовательно, из р = о = 0 следует ^8 o=O. Произведя координатное преобразование хА' = хА'(хв, и) и используя комплексно-сопряженные координаты C = (Xt -|~uc*)/l/2 и C = (л:1 — ijc*)/^2, интервал можно записать в форме
ds* = 25й- 2dCdC -2du(dv + Wdi + Wdl+Hdu); Ssi0=O (27.7)
(0> и H — действительные; W — комплексное).
Этот интервал можно записать через 1-формы следующим образом:
ds*=2a>,<a* — 2<й*<й4; <»I=dC/#>;
____ (27.8)
tfedC/S5; 6>* = d«; ю4=dv + IFdC + WdZ + Hdu.
Такой выбор 1-форм очень близок к выбору (23.22) (I=O) в случае алгебраически специальных полей с отличным от нуля расширением. Чтобы вычислить тензор Римана, оказалось полезным сначала выполнить изотропное вращение (23.3) и использовать базис 1-форм
©, = w,=dC/Sa -PWdw, <o3=d«; a*=dv + (H+ P*WW)du, (27.9) 274
и соответствующие тетрадные векторы
е, = ё2 = г, = д„ +Pt(Wd^Wdi)-(H +9>'WW)d0-, (2? Ю)
Координатными преобразованиями, сохраняющими форму
(27.7) метрики, и связанными с ними преобразованиями функций ЗР, H и W, входящих в метрику, являются
Чтобы форма (27.10) изотропной тетрады не менялась, действие преобразований (27.11) должно быть скомпенсировано следующими вращениями тетрады (е2=еі):
Если (InSa)^ = O1 то всегда можно преобразовать Sb к Sa = I
с помощью (27.11а). Условие №,„=0 инвариантно относительно преобразований (27.11) и, таким образом, характеризует специальный подкласс решений.
Двумерные поверхности и, V = Const, имеющие метрику называются волновыми поверхностями. Векторные поля е, = SbOr. и B2 = SbOi в (27.10) являются образующими поверхности, т. е. их коммутатор представляет собой их линейную комбинацию [см. (6.11)]. Они касательны к волновым поверхностям, в то время как векторные поля е, = Sb (Oi — №<?„) и C2 = Sb(Oi-Wdv), связанные с базисом
(27.8), таковыми не являются.
Существование (пространственно-подобных) двумерных поверхностей, ортогональных к к, означает ю=0 [Kundt (1961)]. Доказательство весьма кратко:
И наоборот, мы видели, что ю=0 означает существование двумерных поверхностей (волновых поверхностей), ортогональных к к. Геометрия пространства-времени однозначно определяет изо-
1.
’(27.Ua)
2.
H'=н~ ((Jjsbt+WfJ,і 4- WjJMfЛ /.0; t/ = y-fg(C, С, ы); Sa' = ^; W'=W-g.c,
(27.116)
3.
H'=H -g,u.
U1=H(U)-, v'=v!h'U;
(27.11b)
2. Z11 = Z1-Sb,
I.
(27.1 ^6)
(27.12a)
3.
e'4=e4;
е'з = e3//z u; e'4=/i,ue4.
(27.12b)
0=ka (mbma;b — mbma-b) = 2ka-,btniamb] = 2іш. (27.13)
18*
275
тропную конгруэнцию к и волновые поверхности. Следовательно, гауссова кривизна
К =2Рг(InSa)cJ = A(InSs) (27.14)
волновых поверхностей есть инвариант пространства-времени.
Cm.: [Hall (1974, (1978)].
27.3. Компоненты тензора Риччи
В этом разделе приведен перечень тетрадных компонент тензора Риччн в базисе (27.9). Как и в гл. 23—26, будем использовать договоренность, что числовые индексы являются тетрадными индексами, а частные производные обозначаются запятой.
В базисе (27.9) независимыми формами связности Таь являются:
T4l=-^rett*;
г21 + г43 = - (Sa1C - f Wш* + (&л + Wш* +
+ + у (W).t + у (PiW) i] ю3; (27.15)
гз, = [ ¦- -у (W л + WJ + (In Р),(^).{«* -
- Sa (Н + PiWW)>ею* —у ЇЇ,0ш\
Подставляя (27.15) в уравнения (3.23), получаем следующие выражения для тетрадных компонент тензора Риччи:
Rtt = 0; (27.16а)
Rtl = -jJ-Wivo; (27.166)
Ru = (PiWi0)x----^-(WJi; (27.16b)
Rlt= Д In P + -у- (W,* + W.* - WivWi0); (27.16г)
Rm = Hm--y-<W,«+W,«- 2Wi0WJ+Pi(WiVOW+WWi00); (27.16a) Ru=P(PiW)ЛІ-2РЛ(Р^)Л+Р J-1 PiW,с-1 PiWx-H^ ^).«] t+ + SbH.* + у [(PiWv)xW + (PtWJxW] +
+ -у- [Л),с - (ГГ.„)д] + PmWi0 -
276
— -у PW _т -Lp (Ff jT P1WW) Wf0v-, (27.16е)
R33=2P'Sd+P*WvS.^+ PiW^vSx - 2 (PtW)x (PiW),с -
- 2 [VxPiW + ^xPtW - L ,i.u - г.? + V-S,0 + Ji-aI.
Ji= J^(W.t + Wx)-(lnP)M S = Я + PiWW. (27.16ж)
27.4. Структура вакуумных уравнений и уравнений Эйнштейна — Максвелла
В этом разделе рассмотрены уравнения Эйнштейна — Максвелла, включающие, конечно, вакуумные полевые уравнения как частный случай.
