Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
линейной функцией ?, то можно использовать остающуюся свободу в преобразованиях координат (27.11), чтобы обратить W в нуль. Решения (27.34) с IF=O являются волнами с плоским фронтом, которые изучены подробно в § 21.5.
В случае WtV= — 2l(C~\~l) решение можно найти аналогичным образом. Если Sb = I и IFi0= — 2/(С-|-С), то уравнение ^031 = O имеет вид:
'1 о — П 07° 4- I0 —
4- 0F.c-~ IF,g)+G«--g-±g- =--4-= (W.i + W\). (27.35)
_ ? + ? J,c
С помощью координатного преобразования (27.116), которое вызывает изменение IF0:
можно добиться, чтобы правая часть уравнения (27.35) исчезала. Тогда есть мнимая часть аналитической функции. По-
лучаем
а оставшуюся свободу в преобразовании (27.116) можно использовать, чтобы положить UP0= UP0^, и). Класс решений теперь определен следующим образом:
[Kahen, Spelkens (1967)], где UP0 (?, и)—произвольная функция. В общем случае эти решения принадлежат к типу III по Петрову; они принадлежат к типу N, если
В этом случае UP0 можно преобразовать к нулю.
Теорема 27.2. Классы (27.34) и (27.38) исчерпывают все вакуумные решения типа III и типа N с р=0. Они характеризуются тем, что Д In P=O, т. е. плоскими волновыми поверхностями.
Эти два класса были впервые получены Кундтом [Kundt (1961)], который выбрал функцию UP0 действительной. Для класса (27.38) UP0 в этом случае имеет вид:
полученное Петровым (1962), и его обобщения [Harric, Zund
(1975); Кайгородов (1967)] являются частными случаями класса
(27.34), записанными в других координатных системах. Метрика
(27.40) допускает неабелеву группу G?.
Cm.: [Kerr, Goldberg (1961); Debever (1960); Pandya, Vaidya
(1961); Wyman, Trollope (1965)].
Вакуумные решения типа D полностью известны [Kinnersley (1969b); Carter (1968b)]. Решения, не имеющие расширения (р=0) допускают группу движений Gt на T3 и приведены в § 11.3.1. В используемых здесь обозначениях этот класс решений
W0=I f (С и) Л - ft (С, и) +Л(С, и), (27.37)
ds* =2с/гЖ" -2du(da + WdZ + WdZ + Hdu); (27.38)
W9= We = ? (С + C)-1; ?.«=0. (27.39)
Решение типа III
ds2=x(o—е*) du2—2dudv-t-e* (dx2+er2ud2?), (27.40)
27.5.2. Решения типов D и Il
281
можно записать в виде
ds* = ЖА19і-2du (dv + WdC + WdZ + Hdu);
V2C=x-\-\ у; №*dx=^dz; (27.41)
Ф* — *г + іг W-—
к(г' — Іг) + 2тх ' з-г(г—іІ) ’
//= - Г—*—+ - . -ъ
1.2(*2 + Іг) ^ J-2 (*г + /г)г]
с константами от, І и k=0, ±1. Отметим, что эти решения можно записать только неявно (9>2dx=dz), если использовать изотропную форму метрики волновой поверхности, и что в функциях W и Я, входящих в метрику, содержатся только члены с наивысшими возможными степенями ПО V.
Решения типа II известны лишь частично. Если вакуумное поле допускает изотропный вектор Киллинга I=C-3 к, то пространство-время, очевидно, принадлежит к классу Кундта (см. гл. 21). В силу уравнений Киллинга для метрики (27.7) действительная функция а должна подчиняться соотношениям
о.с = W,V; = Hv; oiP = 0. (27.42)
Соответствующие условия интегрируемости таким образом накладывают ограничения на функции, входящие в метрику, что можно построить общее решение эйнштейновских уравнений поля. Такие пространства-времена были рассмотрены в § 21.4.
Если алгебраически специальное вакуумное поле допускает нормальный к гиперповерхности пространственно-подобный вектор Киллинга, ортогональный к, то это решение принадлежит к классу Кундта. Все эти решения (в общем случае принадлежащие к типу II) известны [Kramer, Neugebauer (1968а)].
Используя теорему 27.1, можно построить решения типа II из решений типа D (27.41). Если изменять только входящую в метрику функцию Я, например, следующим образом: Я+Я°, то Я0 должна удовлетворять уравнению
2Н°й -f (WtvHi), С 4- (WtvH11)ti = О (27.43)
[W,v то же, что и в (27.41)]. Класс Ван-Стокума (18.23) можно получить таким способом из решения типа D (27.41) с параметрами k=l=0, от=1. Возможно, что теорема 27.1 также приводит к другим решениям, не содержащимся в ранее известных классах.
Cm.: [Debney (1971)].
27.6. Изотропные поля Эйнштейна — Максвелла и поля чистого излучения
Для изотропных полей Эйнштейна — Максвелла (случай коллинеарных векторов, ф0=фі=0) и для полей чистого излучения полевые уравнения имеют ту же форму, что и в вакуумном слу-
282
чае, исключая уравнение R033=0, которое надо заменить на
R\3=к0Ф2?, С, и). (27.44)
Функция Ф2 положительна в случае чистого излучения, а для полей Эйнштейна — Максвелла она имеет структуру
Ф*=2Ф1Ф1 = 2^*йг(С, u)g(Z, и) (27.45)
[см. (27.20)]. [С помощью координатного преобразования (27.11а) можно получить Ф2 = ^2.]. Функция H0, которая появляется в (27.44), но ни в одном из других уравнений поля, произвольна для решений в случае чистого излучения, пока Ф*>0. Для полей Эйнштейна — Максвелла H0 нужно выбрать так, чтобы
(27.45) выполнялось. (В литературе такие функции H0 обычно явно не определяются.) Таким образом, показано, что существуют изотропные поля Эйнштейна — Максвелла и поля чистого излучения, которые отличаются от вакуумных решений только видом функции H0. Все поля чистого излучения типа III по Петрову и более специальные случаи можно получить из вакуумных решений (27.34) и (27.38), опуская дифференциальные уравнения для H0. Общеизвестным классом изотропных полей Эйнштейна—Максвелла являются pp-волны (см. § 21.5).
