Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
в первом случае (LlU=0, дс /=#0) вакуумные решения, которые удовлетворяют предположениям теоремы 26.4, включены в (25.43) — (25.47). До сих пор не было найдено невакуумных решений с положительным п2.
Во втором случае (Liu=O=/) исходным будет класс вакуумных решений Керра — Шилда
L0 = I1 (Jf) Sao*; #* = аСГ+рС + р? + 8; (26.38)
/ra = const; /И=0.
Точные решения дифференциального уравнения для А были найдены в различных частных случаях.
Если А является функцией только и, то находим
А(и) = а,(и+агу, L0=-Ia^Sa0a; = I + КСС/2; (26.39)
K=0, ±1; а° — действительно,
и
Л(ы) = а,(« + а1); L0 = (6,? + ??+?1/2; (26.40)
3я= 1; Ь\ — действительно,
что определяет излучательные решения. В обоих случаях интенсивность поля излучения дается выражением
х0л2=6т(ы+а2)-1. (26.41)
В частности, (26.39) при K=I является метрикой Керра с излучением (асимптотически плоской), которая впервые была получена Крамером [Kramer (1972)]; она принадлежит к классу метрик Керра — Шилда. Если для этого решения сделать координатное преобразование u->F(u)=ai(u-f-a2)2/2, которое преобразует 3> в 3я, то (26.39) приобретает вид
L = — i«° (2а,ы)1/2 Zl Ss"2; от = от,,(2а1ы)-3/2;
_ (26.42)
Sao= I —J— СС/2; K = 1.
Отличие от метрики Keppa только в (специальной) временной (и-) зависимости параметров m и a=a°(2ai«)1/2. Если предполагать наличие аксиальной симметрии (S0 и А зависят только от ??
271
и и), то следует решить уравнение
(SWy + S'a^C^'^^O; A = А{CC, и);
— 2 - (26.43)
U=-XaCj ^; Sao = I+ЯСС/2.
Для /(=0 общим решением будет суперпозиция (с различными а) следующих выражений:
А(СС, и) = (a,ea“4"о,e-a“)J,(aaCC), a^O;
(26.44)
Л (К, и)=(й,ы + а*) (a, In CC+ at). a = О,
где /0 — функция Бесселя. Для /С=±1 в уравнении (26.43) переменные можно разделить. Помимо (26.39) было найдено лишь одно решение
A (CC) = а, [In CC"- 2 In (1 -КСС/2)1 + а,. (26.45)
26.6.3. Получение решений в случае полей чистого излучения из вакуумных метрик с помощью изменения т
Если зафиксировать L и Af, а менять только т,
т=та-\-В(%, ?, и), где В — действительно, (26.46)
то уравнение (26.326) остается справедливым, а уравнения поля сводятся к
(3Lu -д)В= O = (3L „ - 5) В. (26.47)
[Hughston (1971)]. Новое решение будет невакуумным, только если (IP-9B)1U не равно нулю.
Для решения с вращением (6L—дЕфО) условие интегрируемости уравнений (26.47) накладывает жесткие ограничения на вакуумную метрику. Из (26.47) и коммутационных соотношений
(25.17) получаем
(дд—дд) B=ZBdu (dL—dL) = (dL—dL) диВ, (26.48)
т. е. действительная функция В имеет вид:
В(%, ?, и) =Ь (С, I) (д!-<3?)-з, (26.49)
и в силу (26.47) функция Ь(%, ?) должна удовлетворять уравнению
(In &)д=31,„+3д In (<fL—dL). (26.50)
Основной смысл (26.50) состоит в том, что его правая часть не должна зависеть от и.
Теперь проверим известные классы вакуумных решений, чтобы выяснить, в каких случаях можно удовлетворить уравнению
(26.50). При L1U=0 нам известно два класса вакуумных решений (см. § 25.2.3 и 25.2.5). В обоих случаях 9і не зависит от и, и вследствие (26.47) В должно быть константой, так что (9>~3В),„ является нулем; изменение (26.46) представляет собой только (тривиальное) изменение постоянного массового параметра. Таким обра-
272
вом, все приведенные выше условия могут подойти только для вакуумных решений из § 25.2.4 с Lltl=TfcO. Проверяя эти решения, мы видим, что 9 не зависит от u, a L и S линейны по и. Если выбрать начало отсчета и так, чтобы S было пропорционально и, то (26.50) означает, что L также пропорционально и. Из-за структуры
(25.50) — (25.55) класса вакуумных решений с Lltt=^O, /=0 единственное излучательное решение, которое можно построить, имеет вид:
L ={<?[; In SP — IC + q (С)] - ‘} и;
SP ,и = 0; т0 = М = / = 0; т = В = Ьи~ъ\ хол2=—6Ьи~4, (26.51)
где g(?)—произвольная функция; Ь — отрицательная константа. Соответствующее вакуумное решение (Ь=0) является плоским. Поле чистого излучения, построенное из хаузеровского решения типа N (25.71) см. [OStephani (1980)].
Глава 27
Решения с нулевым расширением (класс Кундта)
27.1. Введение
В гл. 23—26 были рассмотрены те алгебраически специальные решения, для которых к — кратное главное изотропное направление тензора Вейля — имеет отличное от нуля расширение (р^=0) и является бессдвиговым. В этой главе будет рассмотрен случай,, когда расширение отсутствует, т. е. предполагается р= — (0-(-—ito) =0.
Так как приемлемый с физической точки зрения тензор энергии-импульса должен удовлетворять энергетическому условию Tabkakb^0 (см. § 5.3), то, как видно из уравнения (6.32), т. е. из.
Q,aka — tos-f- 0«+оа= - Ra,kak'Jl2<0, (27.1)
условие 6+ію=0 означает
o=0=Rabkakb. (27.2)
Следовательно, не имеющая вращения (и поэтому геодезическая) и нерасширяющаяся изотропная конгруэнция должна быть-бессдвиговой, a Rabkakb=0 означает, что соотношения
Rabkakb—Rabkamb=Rabmatnb=0 (27.3)
удовлетворяются в случае вакуума, поля Эйнштейна — Максвелла и поля чистого излучения. Следовательно, в силу теоремы 7.1 эти пространства являются алгебраически специальными. Поле Эйнштейна —¦ Максвелла и поле чистого излучения относятся к случаю коллинеарных векторов, т. е. они имеют общее собственное направление к тензоров Вейля и Риччи. Решения для идеальной
