Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
С нашей точки зрения, решения типа D с расширением распадаются на два класса, в первый из которых входят все решения классов I и II по Киннерсли, а во второй — решения класса III по Киннерсли (С-метрика с вращением).
Более подробно первый класс содержится в частном случае m-|-iM=consi решений с I=O=L,и, которые обсуждались в § 25.2.5. Эти решения типа D определяются выражениями
(25.58), (25.59), где 1\"=0, т. е. они удовлетворяют условиям:
<Р=аСС + рС+рС + 8; K=2(a8-pp) = 0. ±1; {25щ
т + \М = consl;
^_ т — Ш С dt,
W''
Г /--¦ ¦- — (А.+ А.С + Я.С1).
J (а? + P)2
Среди констант а, б, т, M (все действительные) и (3, X0, A,i, X2 (все комплексные) существенны только три действительных числа (включая m и М), т. е. их нельзя устранить координатным преобразованием.
В случае ненулевой кривизны, К=±\, метрику можно записать следующим образом:
SP = 1+4«; L=--gf-
Ъ = КМ- a -1--*?2 ¦ H=*.-HL±™. к =
1+КЙ/2 ’ 2 ^ + ’ - ’
ds2 = 2 (r2 + Z2) SP~2dtdZ-2(du -f LdC + LdC) X X [dr + UPdC + WdZjrH (du + LdC + LdT)]
(25.74)
[Ai = і (а+М); в L член, содержащий т, был преобразован к нулю]. Решение Керра [Kerr (1963а)] при TW=O, K= 1, решение Шварцшильда при М=а=0 и решения НУТ [Newman е. а. (1963)] при а=0 являются частными случаями. Параметры т, M и а называются соответственно массой, НУТ-параметром и параметром Керра.
Ко второму классу вакуумных решений типа D с расширением относятся решения с метрикой, не зависящей от % и ? (ср. с § 25.2.6). Оказывается [Weir, Kerr (1977)], что условие на тип D в точности сводится к V0=O. Следовательно, метрика определяется выражением (25.13), где t?=\, a m+iAf и L определяются выражениями (25.62), (25.65) и (25.68).
Очевидно, что наиболее подходящая система координат для метрик типа D есть та, которая дает единственное выражение для метрики всех вакуумных решений типа D с расширением. В этой
26)
системе координат вакуумные решения типа D имеют следующий вид:
ds* = (I - pq)- 2 [ dp*+dq* + (dz + ^‘do)* +
^ (dx + pVa)*];
-r
P2 + <?2
Ar = Ar (/7) = T (I - p*) + 2lp - ep*-\-2mp3\ f = f(q) = y(\ -q^-Zmq + eq* -2lq3
(25.75)
[Carter (1968b); Debever (1971); Plebanski, Demianski (1976) Weir, Kerr (1977)].
B (25.75) m, I, г и у — произвольные действительные констан ты. Заметим, что константа т в (25.75) связана (но не всегда рав на ему) с массовым параметром т, используемым в этой главе в случае С-метрики с вращением константа т в (25.75) соответ ствует Reji0 в (25.62). Детальное обсуждение метрики (25.75) различных частных случаев и обобщение на поля Эйнштейна — Максвелла проведено в§ 19.1.
Сравнительно простой вид (25.75) общей метрики типа D с расширением указывает на то, что каноническая система координат (25.13), которая в принципе охватывает все алгебраически специальные вакуумные метрики с расширением, не является лучшей системой координат для типа D. Остается открытым вопрос, будут ли другие координаты также облегчать интегрирование уравнений поля в случае других типов по Петрову.
25.6. Решения типа II
Все явно известные решения типа II принадлежат к классам, рассмотренным в § 25.2.3—25.2.5, и их частным случаям (например, к метрике Керра — Шилда). Они содержат самое большее три произвольные аналитические функции.
Чтобы оценить степени свободы, присущие общему решению полевых уравнений, запишем их в калибровке (25.21), т. е. (при &=1) как _
[ (m+Ш) +дддь] (dL) (дь) (25.76)
d(m+iM)=3{m+\M)L,u; (25.77)
Af=Im dddL, (25.78)
где д=дъ—Ldu. Эти уравнения показывают, что на некоторой поверхности M=Const можно задать следующие 5 (комплексных) функций 5 и S [эти функции связаны только соотношением
(25.78)]: m+Ш, L, L,u, L,uu, L,uuu. Уравнение (25.76) гаранти-
рует, что это соотношение справедливо для всех и, если оно справедливо для фиксированного и. Все более высокие производные (по параметру и) от m+iM и комплексной функции L можно вы-262
числить из полевых уравнений. Вследствие данного уравнения связи (одна действительная функция) и свободы u'=u-\-h(?, ?) в выборе и (другая действительная функция), в качестве существенных степеней свободы остаются 4 комплексные функции двух действительных переменных. В случае типа N в результате остаются две комплексные функции, а в случае типа III — три комплексные функции двух действительных переменных. Во всех трех случаях это те же самые степени свободы, что и в линеаризованной теории [Sommers (1976)].
Глава 26
Решения с вращением в случае полей Эйнштейна — Максвелла и чистого излучения
26.1. Структура полевых уравнений Эйнштейна — Максвелла
В следующих пяти разделах будем находить точные решения системы уравнений Эйнштейна — Максвелла
2 Rab = x/aCKc; (26.1)
F*ab.tb = {Fab + \Fab).b = О (26.2)
в случае, когда тензор Вейля обладает (кратным) изотропным собственным вектором к, который является геодезическим, бес-сдвиговым, имеет вращение и одновременно является собственным вектором тензора Максвелла Fat (случай коллинеарных векторов). Последнее условие означает а) что среди тетрадных компонент
