Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Как было отмечено в § 27.1, существование нерасширяющейся изотропной конгруэнции к, не имеющей вращения, означает, что к есть также собственное направление тензора Максвелла, т. е. тетрадная компонента Фо=/чі должна быть нулевой. При Фо=0 уравнения Эйнштейна имеют вид:
Ru=Ru=Rii=O-, (27.17а)
Rh=Rm=2j*o®i®i; (27.176)
/?3i=2xo®i®2i ^?зз=2иоФ2Ф2, (27.17в)
а уравнения Максвелла (без источников) (7.46) — (7.49) имеют
вид:
ф,,*=0; ФІ>с = УівФі; (27.18а)
Фг.,=^(ф,.е + ^.Л); (27.186)
РФ2Л = Ф1и + Pt [(№Ф,).С + (ГФО.е! ~ 2 (In Р),иФ1 + Р,^Фг. (27.18b)
Используя #и=0, систему уравнений Максвелла (27.18а) можно проинтегрировать, что дает
Ф1 = Ф:=Z^(W vfF(t, а) при №„7^=0;
= и) при Wa=0.
Для изотропного поля (Ф0=Фі=0) общим решением уравнений Максвелла (27.18) является
Фг = Ф2° = Pg (С, и). (27.20)
Изучим теперь структуру уравнений Эйнштейна — Максвелла
(27.17), (27.18). Из уравнения #н=0 следует, что W является линейной функцией V.
W=W'V(t, С. u)v + W'{С, С. и). (27.21)
277
Уравнения
Ru = {&'W_vU-^(WJ' = 0;
(27.22)
образуют систему дифференциальных уравнений для функций 9, W,v и Фь не зависящих от v. Общее решение неизвестно даже в вакуумном случае.
Так _как 9, W,v и Фі не зависят от и, то из уравнения /?34= =2и0ФіФі следует, что H есть квадратичная функция по v:
а из уравнения Максвелла (27.186) следует, что Фг линейна по v:
Уравнение поля (комплексное) /?зі=2хоФіФг и уравнение Максвелла (27.18в) содержат члены, линейные по и, и члены, не зависящие от и. Если уравнения Эйнштейна (27.17а), (27.176) и уравнения Максвелла (27.18а), (27.186) удовлетворены, то из тождества Бианки (7.70) следует, что члены, зависящие от v в уравнении /?зі=2х0Ф1Ф2 и в уравнении Максвелла (27.18в), удовлетворяются тождественно. He зависящие от V члены этих уравнений, а именно
определяют функции IF0, G0 и Ф°2, если известны 9, W,V и Фь Уравнения (27.25) линейны по IF0, G01 Ф°2 и их производным.
Последнее уравнение Эйнштейна #33=2xo®2®2 содержит члены вплоть до второго порядка по и. При условии, что остальные уравнения Эйнштейна — Максвелла уже удовлетворены, тождество Бианки (7.71) дает (R33-2и0Ф2Ф2),і>=0. Это означает, что часть, зависящая от и, последнего полевого уравнения удовлетво-
278
tf =-i-tf ro(«, + С,'С, u)t/ + tf°(C. С, и);
(27.23)
Ф2 = З» (Ф, г -)-IF 0Ф.) V + Ф,* (С, С, и). (27.24)
ряется тождественно. Наконец, часть, не зависящая от v,
R033 = 2PiHiId + P2 (W^H0)x + P2 (WJIt)X +
-|- известная функция = 2к0Ф02Ф02 (27.26)
[«известная функция» получается из выражения (27.16ж)], дает линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для оставшейся функции H0.
Уравнения Эйнштейна—Максвелла распадаются на систему
(27.22), определяющую 5а, Wи Фь систему (27.25), определяющую W0, G0 и Ф°2 и уравнение (27.26) для H0. Необходимо подчеркнуть, что функции Wa, G0, Ф°2 и H0 не появляются в полевых уравнениях (27.22) для 9, W,v и Ф[. Этот замечательный факт дает возможность построения новых решений:
Теорема 27.1. Из известного решения («фоновой метрики») можно получить другие решения с теми же W,v и Фь выбирая новые функции W0, G0, Ф°2, удовлетворяющие линейным уравнениям (27.25), а затем выбирая новую функцию H0j удовлетворяю-
щую линейному уравнению (27.26).
В заключение этого раздела приведем вид тетрадных компонент Ч'г и Ч^з тензора Вейля для полей Эйнштейна — Максвелла (и чистого излучения):
T-=Tf«-Tr^
< 2 _ (27.27)
W3 = - P (PtW).сс + 2^,с (PiW)X + P (W,с + WjO — - (In Р).и] . + у [у-(W.с + W.с) - (In $>).«] Wt0 --^-w ,JPtWU +Y Rn-
При №=0 последнее выражение сводится к
I^0- (InP)J.:. (27.28)
27.5. Вакуумные решения
27.5.1. Решения типа III и N
Вакуумные решения типа III и N в классе Кундта полностью известны [Kundt (1961)]. Полевое уравнение #12=0 и условие на решения типа III 4^2=0 дают (In 9) ^ =0.
С помощью координатного преобразования (27.11а) можно сделать 0>=\. Полевое уравнение #34=0 определяет H,vv как
Полевое уравнение Rn= 0 и условие 4^=0 приводят к
IFi8=-2яс; я=«; (27.30)
(е")>к = 0=(е»).й.
Либо IF1W=O1 либо можно, вспоминая преобразования (27.11а), (27.11в), положить W,v=—2/(?+?) без потери общности.
Сначала рассмотрим случай W,v=0. При 9=1, W,v=0 уравнение Rзі=0 дает
*„ = (//.„+Y ^,r с=а (27'31>
Это означает, что //a-j--^-(IF ^ — lF,t;) =/(С, и).
Из-за действительности Hv имеем
W.i-W.i = f(t. и)-ЦС, и), (27.32>
что означает
IF = J/(S, u)dC — gv g = g(C, С, и) — действительно, (27.33)
и, наконец, посредством допустимого координатного преобразования (27.116) получаем W= W(?, и). Этот класс решений определяется следующим образом:
ds2 = Ж&І ~ 2du [dv + WdC + Wdl + Hdu)-,
W = W°(C, и); H =-i-(IF.с + W.0» + Я0; (27.34)
//?« - Re (ИГ * + IFlF+ IF іи) = 0,
где IF(?, и)—произвольная функция. В общем случае эти решения принадлежат к типу III по Петрову. Они принадлежат к типу N, если tF3 = -i- W ^ = 0, [см. (27.27)]; но если W является
